Передаточные функции
Поскольку передаточные функции полосно-пропускающих фильтров получаются с помощью использования преобразования вида (1) соответствующих функций нижних частот, то передаточная функция полосно-пропускающего фильтра будет состоять из произведения сомножителей, каждый из которых получается из сомножителя функции нижних частот. Для сомножителя функции нижних частот первого порядка
(3)
соответствующий сомножитель полосно-пропускающего фильтра представляет собой функцию второго порядка вида
, (4)
где С – нормированный коэффициент соответствующего звена нижних частот первого порядка, приведенный в прил. 1 для фильтров Баттерворта и Чебышева.
Полосно-пропускающий фильтр второго порядка получается в том случае, когда соответствующий фильтр нижних частот имеет первый порядок. Таким образом, эта функция нижних частот описывается единственным уравнением (3) с С = 1. В этом случае из (4 получаем передаточную функцию
(5)
полосно-пропускающего фильтра второго порядка.
Передаточную функцию вида (5) можно определить как функцию полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева второго порядка, поскольку уравнение (3) при С = 1 описывает функцию Баттерворта или масштабированную функцию Чебышева нижних частот первого порядка.
Получаемые из функций нижних частот второго порядка сомножители передаточных функций полосно-пропускающих фильтров Баттерворта или Чебышева имеют следующий вид:
, (6)
где В и С – соответствующие коэффициенты нижних частот (прил. 1).
В (4) значение K определяет коэффициент усиления звена, а в (6)
K – общий коэффициент усиления двух звеньев второго порядка, соединенных каскадно для реализации функции четвертого порядка.
Передаточную функцию, заданную уравнением (6), можно представить в виде произведения двух функций второго порядка
(7)
и
, (8)
где
; (9)
. (10)
Таким образом, для каждого сомножителя второго порядка в соответствующем фильтре нижних частот передаточная функция полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева с порядком n = 4, 6, 8, … будет содержать сомножители, один из которых описывается уравнением (7), а другой – уравнением (8); K1 и K 2 представляют собой коэффициенты усиления двух полосно-пропускающих звеньев и должны выбираться таким образом, чтобы K 1K 2 = K.
Типовую передаточную функцию полосно-пропускающего фильтра второго порядка или звена второго порядка полосно-пропускающего фильтра Баттерворта или Чебышева более низкого порядка можно записать в следующем виде:
, (11)
где параметры r, b и g получаются с помощью приравнивания уравнения (11) к соответствующим уравнениям (5), (6), (8) или (9).
Интересно отметить, что параметр Е представляет собой добротность Q каждого звена (см. (7) и (8)). Как и для фильтров нижних частот и верхних частот, для реализации высоких значений Q обычно требуются высококачественные схемы.