Анализ характеристик и параметров аналого-цифрового преобразования сообщения
Аналого-цифровое преобразование (АЦП) исходного сообщения осуществляется в три этапа (см. рис. 1). Вначале сообщение дискретизируется по времени, далее квантуется по уровню и затем квантованные уровни кодируются. В результате чего формируется сигнал импульсно-кодовой модуляции (ИКМ). Все эти преобразования иллюстрируются графически на рис. 2.
Теоретической основой дискретизации служит теорема В.А.Котельникова. Суть ее в следующем: любая непрерывная функция 
, ограниченная по спектру верхней частотой
, может быть точно представлена последовательностью своих отсчетов 
, взятых в момент времени 
, кратные интервалу дискретизации
 .
| (6) |
По условию курсовой работы отклик идеального ФНЧ удовлетворяет данной теореме. Поэтому его можно продискретизировать, т.е. преобразовать из аналоговой формы в дискретно-аналоговую 
, с частотой дискретизации
 .
| (7) |
Рис. 2.
Дискретизатор можно реализовать в виде перемножителя двух функций: непрерывного сообщения и периодической последовательности дискретизирующих импульсов 
(см. рис. 2а). Отклик дискретизатора 
изображен на рис. 2б (заштрихованная последовательность импульсов). Длительность дискретизирующих импульсов много меньше интервала (периода) дискретизации и поэтому часто изменениями амплитуды импульсов в интервале длительностью 
пренебрегают.
В момент 
импульсы на выходе дискретизатора могут принимать бесчисленное множество значений из ограниченного или неограниченного диапазона 
, называемого шкалой сообщения. В результате равномерного квантования с шагом 
и порогов квантования 
. На рис. 2б и в показана процедура квантования для 
.
Для определения шага квантования и порогов квантования 
учтем, что с вероятностью 0.997 гауссовский случайный процесс находится в диапазоне 
. Если в этом диапазоне разместить (
) уровня, а два уровня отвести на области вне этого диапазона, т.е. 
и 
, то шаг квантования можно рассчитать следующим образом
 .
| (8) |
Пороги квантования можно найти так
 , 
| (9) |
где крайние пороги соответственно равны 
. Уровни квантования в простейшем случае определяются следующим соотношениями
 ,  , 
| (10) |
Таким образом, правило квантования отсчетов 
состоит в следующем. Если входной отсчет попадает в интервал 
, то оклик квантователя 
принимает значение 
(см. рис. 2б). Характеристика квантователя для приведена на рис. 3.
В процессе квантования образуется специфическая погрешность 
, называемая шумом квантования. Вычислим 
среднюю квадратическую погрешность квантования (СКПК), иначе мощность шума квантования
 ,
| (11) |
где 
и 
соответственно мощности
(дисперсии) входного и выходного
сигналов квантователя; 
- коэффи-
циент взаимной корреляции между
этими сигналами, величину для
гауссовского процесса 
находят так
 ,
| (12) |
где постоянная
 .
|
(13) |
В этом соотношении 
- производная от характеристики квантования 
(см. рис. 3); 
- ФПВ гауссовской величины 
, определяемая соотношением (1) с заменой 
на 
. Подставляя теперь (13) в (12), а затем в (11) окончательно для СКП квантования имеем
 ,
| (14) |
где мощность квантованного процесса 
равна
 .
| (15) |
В данном соотношении распределение вероятностей 
дискретной случайной величины , , с учетом (9), рассчитывают так
 ,
| (16) |
где 
- табулированная функция Лапласа,
 .
| (17) |
Интегральное распределение вероятностей
 ;  ,  ;  ,  .
| (18) |
Полагая, что отсчеты на выходе дискретизатора некоррелированны между собой, а для гауссовского процесса, следовательно, и независимы, определим информационные характеристики отклика 
квантователя, являющегося входным сигналом 
- ичного ДКС. Квантованная последовательность 
, , с учетом независимости ее значений определяется одномерным распределением вероятностей вида (16).
Энтропия равна
 .
| (19) |
Производительность или скорость ввода информации в ДКС определяется соотношением
 .
| (20) |
Энтропию измеряют в двоичных единицах (битах), а производительность в двоичных единицах в секунду (бит/с).
Избыточность последовательности источника
 .
| (21) |
где 
- максимальная энтропия, для источника дискретных сообщений
 .
| (22) |
В кодере АЦП последовательность 
, 
преобразуется в последовательность кодовых символов 
. При организации цифровой связи широкое распространение получило двоичное кодирование 
и 
. Собственно процедура двоичного безизбыточного блочного кодирования отсчетов 
состоит в следующем. Физические уровни , , вначале перенумеровываются, т.е. заменяются их номерами 
, иначе представляются в виде десятичных чисел от 0 до 
.
Например, для , 
(см. рис. 2в). Затем эти десятичные числа представляют в двоичной системе счисления с основанием 2. Это представление имеет вид
 ,
| (23) |
где 
- двоичный кодовый символ (= 0 или 1) десятичного числа 
, расположенный в 
- й позиции кодовой комбинации 
.
Таким образом, в момент времени уровни 
переводятся в числа , а последние в кодовые комбинации 
, , В результате образуется сигнал импульсно-кодовой модуляции (ИКМ). Пример такого преобразования приведен на рис. 2в и д для общего числа уровней квантования, равного .
Кодовым расстоянием Хэмминга 
между двумя двоичными кодовыми комбинациями 
и 
называют суммарный эффект от позиционного суммирования по модулю два кодовых символов сравниваемых кодовых комбинаций:
 ,  ,
| (24) |
где 
- арифметическая сумма; 
- суммирование по модулю два: 
.
Таблица кодовых расстояний строится на основе (24). Причем - номер строки, а 
- номер столбца этой таблицы. Так как она симметрична относительно главной диагонали, где 
, то целесообразно выписать ее элементы выше главной диагонали.
Для вычисления вероятностей 
и 
появление нуля и единицы в сигнале ИКМ (см. рис. 2д) обратимся к рис. 2в. Слева показаны вероятности 
, появление кодовых комбинаций, а справа сами кодовые комбинации . Распределение вероятностей относительно нулевого уровня симметрично. Число единиц и нулей в кодовых комбинациях , соответствующих этим вероятностям, также симметрично.
Так как среднее число нулей 
и среднее число единиц 
в сигнале ИКМ одинаково (это справедливо для гауссовского сообщения и данного способа кодирования), то и вероятности их появления одинаковы: ==0.5.
Ширина спектра сигнала ИКМ находится из следующих сообщений. На интервале дискретизации 
при блочном безизбыточном кодировании по правилу (23) должно уместиться 
элементарных кодовых символов. Следовательно, их длительность равна 
(см. рис. 2д). Но ширина спектра элементарного прямоугольного импульса обратно пропорциональна 
.
Таким образом, ширина спектра сигнала ИКМ
 ,
| (25) |
где 
- постоянная, выбираемая в пределах от 1.5 до 2. рекомендуется выбрать =1.667.