Решаем задачи по геометрии

Литвинова С.А,

учитель математики

ГБОУ СОШ № 918

Решаем задачи по геометрии

Список предметов, которые наши сограждане считают обязательными для изучения в старшей школе, начинается с алгебры. Алгебру выбрали 70 % наших… Решаем задачи по геометрии. Тема: Медиана прямоугольного треугольника.

Решение.

Решение.

Как важно знать вывод теоремы Пифагора.

Решение.

Длины касательных к окружности равны. Треугольник – равносторонний.

Решение.

Отметим равные углы и обозначим как . Треугольник – прямоугольный.

Решение.

– равнобедренный.

Решение.

Площади треугольников и равны. Площадь треугольника

Решение.

Вначале лучше выделить окружность: вокруг четырехугольника описана окружность, или четырехугольник вписан в окружность. Что это нам дает? Сумма противоположных углов равна .

Решение.

Хорошо бы знать длины сторон, а не длину средней линии. Тогда можно определить высоту трапеции. Попробуем это сделать. Длины сторон основания и . Проведем боковые стороны трапеции до пересечения в точке . Медианы прямоугольных треугольников равны половине длины…

Решение.

Ответ: Задача 17.

Решение.

параллельную катету Линия пересекает линию . , то отрезки и равны.

Решение.

Для этого на продолжении луча отложим отрезок . Диагонали и в точке пересечения делятся пополам, фигура – параллелограмм.

Решение.

Треугольник – прямоугольный

Решение.

Требуемую медиану превратим в диагональ параллелограмма Воспользуемся соотношением в параллелограмме

Решение

Определим длину боковой стороны

Решение.

Построим параллелограмм Определим

Решение

Используем свойство параллелограмма Воспользуемся теоремой косинусов

Решение.

Диагонали прямоугольника равны. . – радиус окружности. Диаметр окружности

Решение.

Ответ:   Задача 3.3.

Решение.

Биссектриса угла проходит через середину стороны Отрезки

Решение.

Для прямоугольного треугольника центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы. Точки и – центры окружностей. Определим катет треугольника

Решение.

Проведем диагональ и определим его середину – точку . Восстановим перпендикуляр . Диагональ прямоугольника

Решение.

Определим высоту трапеции

Решение.

Фигура - параллелограмм Площадь трапеции равна площади треугольника Треугольник - прямоугольный.

Решение.

Диагонали перпендикулярны. Боковые стороны равны. Высота трапеции

Решение.

Длины оснований различаются. Трапеция равнобедренная, так как вписана в окружность.

Решение.

Ответ: 5  

Решение.

Ответ:

Решение.

Длина большей боковой стороны

Решение.

Теорема косинусов для треугольника ,

Решение.

Ответ:

Как находить высоты и биссектрисы треугольника.

Подготовительные задачи.

Задача 1.

Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны 12 см и 20 см соответственно. Найдите высоту, проведенную из вершины прямого угла.

Решение.

Высота, проведенная из вершины прямого угла Ответ:

Решение.

Высота прямоугольного треугольника

Ответ: 2.

 

Задача 3.

Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, разбивает ее на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника. Найдите эту высоту.

Решение.

Длина боковой стороны Высота перпендикулярна боковой стороне. Высоту определим по теореме Пифагора

Решение.

Полупериметр Площадь треугольника определим по формуле Герона

Решение.

Биссектриса делит угол пополам. Длина биссектрисы Площадь треугольника, как сумма площадей двух треугольников

Решение.

Биссектриса делит угол пополам. Угол между катетом и биссектрисой равен . Длина биссектрисы Площадь треугольника, как сумма площадей двух… Из равенства площадей определим длину биссектрисы

Решение.

Биссектриса делит угол пополам. Длина биссектрисы .   Площадь треугольника

Решение.

Проведем прямую линию . По теореме Фалеса Пусть .

Решение.

- средняя линия треугольника. Так как равны отрезки

Решение.

Введем некоторые обозначения: . Рассмотрим подобные треугольники

Решение.

Введем некоторые обозначения Проведем линию

Один из вариантов решения.

Проведем линии и до пересечения в точке

Рассмотрим подобие треугольников и

Определим .

Рассмотрим подобие треугольников

и .

Ответ:,

 

Задача 6.

На сторонах и треугольника расположены точки и соответственно, причем .

Прямые линии и пересекаются в точке .

Найдите отношения и .

Решение.

Определим отношение

Введем некоторые обозначения

Проведем линию

Треугольники и подобны.

Определим :

Определим :

Рассмотрим подобные треугольники и

По теореме Фалеса ,

Вариант решения

Определим отношение

Рассмотрим подобные треугольники и

,

Выразим длину отрезка через длину отрезка

,

Подставим данное соотношение в предыдущее равенство

,

Искомое отношение

Ответ:, .

 

Задача 7.

В равнобедренном треугольнике , , на стороне взята точка так, что .

В каком отношении прямая линия делит высоту треугольника , считая от вершины ?

Решение.

Высота . Опустим из точки перпендикуляр к основанию треугольника . .

Решение.

Докажем теорему Чевы. Длины отрезков:

Теорема доказана.

что отношение площадей равно Для этого на линию соприкосновения площадей опустим перпендикуляры

Решение.

Свойство биссектрисы Определим отрезки и

Решение.

Касательная перпендикулярна к диаметру окружности

Решение.

Длины касательных равны. Треугольник равнобедренный.

Решение.

Касательная Треугольник - прямоугольный. - медиана,

Решение.

Ответ: 24.  

Решение.

Окружности могут располагаться по одну сторону

от касательной или по разные стороны.

Имеем две конфигурации.

Конфигурация 1.

Расстояние между центрами

 

Конфигурация 2.

  Ответ:

Решение.

Радиус окружности Ответ:

Решение.

Центральный угол Углы треугольника

Решение.

Радиус окружности - средняя линия трапеции

Решение.

Теорема Пифагора

Решение.

Расстояние между центрами Точки касания окружностей Длина сторон треугольника :

Решение.

Радиус большей окружности Расстояние между центрами Периметр треугольника :

Решение.

Ответ: 24.

Решение.

Радиусы окружностей при внешнем касании Центры окружностей расположены в вершинах квадрата Сторона квадрата

Решение.

Радиус меньшей окружности Теорема Пифагора

Решение.

Вариант Треугольник прямоугольный

Решение.

Отрезок - касательная,

Решение.

перпендикуляр к радиусу большей окружности Отрезок

Решение.

Радиус меньшей окружности

Решение.

Решение.

Решение.

- средняя линия трапеции

Решение.

Изобразим прямую линию , пересекающую окружности и проходящую через точку касания этих окружностей. Радиус окружности, перпендикулярный хорде делит хорду на равные отрезки - по условию задачи.

Решение.

Расстояние между центрами Радиусы окружностей Треугольник - равносторонний

.

Ответ: или

 

Задача 3.

Отрезок, соединяющий центры двух пересекающихся окружностей, делится их общей хордой на отрезки, равные 5 и 2.

Найдите общую хорду, если известно, что радиус одной окружности вдвое больше радиуса другой окружности.

Решение.

Рассмотрим прямоугольные треугольники и

Радиусы окружностей

Отрезки, на которые хорда делит отрезок линии центров

Применим теорему Пифагора

Ответ:

 

Задача 4.

Через вершину остроугольного треугольника проведена прямая линия, параллельная стороне , равной , и пересекающая окружности, построенные на сторонах и как на диаметрах, в точках и , отличных от точки .

Найдите .

Решение.

Вписанные углы опираются на диаметр Окружности пересекаются на стороне

Решение.

 

Решение.

Радиус окружности Диаметр описанной окружности

Решение.

Центр окружности лежит на середине основания Диаметр окружности Высота треугольника, проведенная к основанию

Решение.

Радиус вписанной окружности

Решение.

Сумма периметров всех треугольников

Решение.

Решение.

Длина хорды Ответ:

Решение.

Вписанные углы, опирающиеся на дугу, равны. Длина диагонали

Решение.

Теорема о касательной и секущей. Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то…

Решение.

   

Решение.

Ответ:   Задача 6.

Решение.

Вариант расположения точки вне окружности.

Решение.

Из равенства вытекает, что длина отрезка , что невозможно.  

Решение.

Площади треугольников и имеют общее основание . Отношение площадей равно 3.

Решение.

Длина хорды : Произведение всей секущей на ее внешнюю часть для данной окружности постоянно.

Решение.

Треугольник - равнобедренный. , ,

Решение.

Определим длину отрезка Теорема Пифагора

Решение.

Точки пересечения и , Свойство секущей и касательной

Решение.

Длины оснований трапеции

Решение.

Теорема о касательной и секущей Треугольник прямоугольный.