(одномерная полиномиальная регрессия)
Исходные данные.
Задана таблица отсчетов зашумленного дискретизированного сигнала (дискретная функция ).
k | n | ||||||
n – количество отсчетов сигнала (значений X i и Yi ).
Цель работы: Создать приложение для аппроксимации зашумленных сигналов полиномиальными функциями по методу наименьших квадратов (реализации одномерная полиномиальная регрессия). При этом аппроксимирующая функция определяется в виде полиномиальной функции
, (1),
где m – степень полинома FQ(X),
- коэффициенты искомого полинома,
которая будет наиболее близкой к исходной функции заданной табличными значениями, т.е. необходимо определить вектор коэффициентов полинома , при котором полиномиальная функция FQ(X) будет наиболее близкой к заданным в таблице точкам.
В качестве критерия близости используем квадратичный функционал
, (2)
где - искомый вектор коэффициентов полинома.
Методика решения задачи.
Для реализации метода наименьших квадратов в качестве критерия близости используем квадратичный функционал (2).
Квадратичный функционал (2) имеет один экстремум (минимум). Минимум рассматриваемого квадратичного функционала находится из условия равенства нуль всех частных производных функционала , т.е. при . (3)
Частные производные определяются как:
. . (4)
Приравняв нулю частные производные
, , (5)
получаем систему линейных уравнений в виде
, (6)
где матрица коэффициентов уравнения (матрица Грамма),
- вектор правых частей системы уравнений.
(7)
Искомые коэффициенты аппроксимирующего полинома (вектор ) получаем путем решения системы линейных уравнений (6). В матричном виде вектор определяется как:
(8)
Для поиска параметров аппроксимирующего полинома можно использовать функции Excel. В Excel есть матричные функции:
МОБР – обратная матрица
МУМНОЖ – умножение матриц.
Для решения системы уравнений в Excel в ячейки листа вводятся элементы матрицы Аи вектора G.Затем мышкой выделяется диапазон ячеек, где располагается вектор параметров аппроксимации, и вводится формула =МУМНОЖ(МОБР(Диапазон А);Диапазон G).