МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ по курсу "Обработка сигналов и изображений"

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ УКРАИНЫ

НАЦИОНАЛЬНЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

"ХАРЬКОВСКИЙ ПОЛИТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ"

 

 

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ

к лабораторной работе № 2 "Вычисления в пакете MatLab с

использованием матриц"

по курсу "Обработка сигналов и изображений"

для студентов специальностей 7.091501, 7.091502, 7.091503 дневной формы обучения

 

ХАРЬКОВ НТУ "ХПИ" 2006

ЦЕЛЬ ЛАБОРАТОРНЫХ ЗАНЯТИЙ

Знакомство с рабочей средой пакета MatLab и получение практических навыков работы с пакетом при простейших вычислениях с использованием переменных, векторов и матриц.

 

ОСНОВЫ РАБОТЫ С МАТРИЦАМИ В ПАКЕТЕ MATLAB

Различные способы ввода матриц в пакете MatLab

. Для хранения матрицы используйте двумерный массив с именем А. При вводе… » А = [3 1 -1; 2 4 3]

3 1 -1

2 4 3

Для изучения простейших операций над матрицами приведем еще несколько примеров. Рассмотрим другие способы ввода. Введите квадратную матрицу размера три так, как описано ниже:

Начните набирать в командной строке

» В = [4 3 -1

Нажмите клавишу <Enter>. Обратите внимание, что пакет ничего не вычислил. Курсор мигает на следующей строке без символа ». Продолжите ввод матрицы построчно, нажимая в конце каждой строки <Enter>. Последнюю строку завершите закрывающей квадратной скобкой, получается:

2 7 0

-5 1 2]

B =

4 3 1

2 7 0

-5 1 2

Еще один способ ввода матриц состоит в том, что матрицу можно трактовать как вектор-строку, каждый элемент которой является вектор-столбцом. Например, матрицу два на три

можно ввести при помощи команды:

» С = [ [3; 4] [-1; 2] [7; 0] ]

С =

3 -1 7

4 2 0

Посмотрите переменные рабочей среды, набрав в командной строке whos:

А 2x3 48 double array

В 3x3 72 double array

С 2x3 48 double array

Итак, в рабочей среде содержится три матрицы, две прямоугольные и одна квадратная.

Обращение к элементам матриц в пакете MatLab

» С (2 , 3) ans = Элементы матриц могут входить в состав выражений:

6 0 6

6 6 3

» R= С - A

R=

0 -2 8

2 -2 -3

Следите за совпадением размерности, иначе получите сообщение об ошибке:

» S = А+В

??? Error using ==> ±

Matrix dimensions must agree.

Для умножения матриц предназначена звездочка:

» Р = С*В

Р =

-25 9 11

20 26 -4

Умножение матрицы на число тоже осуществляется при помощи звездочки, причем умножать на число можно как справа, так и слева:

» Р =А*3
Р =

9 3 -3

6 12 9

» Р =3*А

Р =

9 3 -3

6 12 9

Транспонирование матрицы, так же как и вектора, производится при помощи .', а символ ' означает комплексное сопряжение. Для вещественных матриц эти операции приводят к одинаковым результатам:

» В’

ans =

4 2 -5

3 7 1
-1 0 2

» В. '

ans =

4 2 -5
3 7 1

-1 0 2

Замечание 1

Комплексно-сопряженная матрица получается из исходной в два этапа: выполняется транспонирование исходной матрицы, а затем все комплексные числа… Сопряжение и транспонирование матриц, содержащих комплексные числа, приведут к… »К= [1-i, 2+3i; 3-5i, l-9i]

I 1.0000 - 9.0000i

»К.'

ans =

1.0000 + 1.OOOOi 3.0000 + 5.OOOOi

2.0000 - 3.OOOOi 1.0000 + 9.OOOOi

» К.'

ans =

I 3.0000 — 5.OOOOi

I 1.0000 — 9.OOOOi

Замечание 2

При вводе вектор-строк их элементы можно разделять или пробелами, или запятыми. При вводе матрицы К применены запятые для более наглядного разделения комплексных чисел в строке.

Возведение квадратной матрицы в целую степень производится с использованием оператора ^:

» В2 = В^2

В2 =

27 32 -6

22 55 -2

-28 -6 9

Проверьте полученный результат, умножив матрицу саму на себя. Убедитесь, что вы освоили простейшие операции с матрицами в MatLab. Найдите значение следующего выражения

(A + С)B³(A -С)^T.

Учтите приоритет операций, сначала выполняется транспонирование, потом возведение в степень, затем умножение, а сложение и вычитание производятся в последнюю очередь.

» (А+С)*В^3*(А-С)'

ans =

1848 1914

10290 3612

Умножение матриц и векторов

можно осуществить следующим образом: » а = [1 3 -2] ;

Решение систем линейных уравнений

В математике ничего не говорится про деление матриц и векторов, однако в MatLab символ используется для решения систем линейных уравнений. Решим систему из трех уравнений с тремя неизвестными:

Введем матрицу коэффициентов системы в массив А, а вектор правой части системы в массив b . Решим систему при помощи при помощи символа :

» х = Аb

х =

1.0000 1.0000 1.0000

Проверьте правильность ответа, умножив матрицу коэффициентов системы А на вектор-столбец х.

Блочные матрицы

Учитывая, что матрица К состоит из двух строк, в первой строке матрицы А и В, а во второй – С и Д блочную матрицу можно сформировать следующим… » K= [А В; С D] K=

3 -3 8 9

-3 3 1 10

Блочную матрицу можно получить и другим способом, если считать, что матрица К состоит из двух столбцов, в первом - матрицы А и С, а во втором - В и D:

» К = [ [А; С] [В; D]]

Обратной задачей к конструированию блочных матриц является задача выделения блоков. Выделение блоков матриц осуществляется индексацией при помощи двоеточия. Введите матрицу

и затем выделите подматрицу с элементами а₄₂, a₄₃, а₅₂, а₅₃, задав номера строк и столбцов при помощи двоеточия:

»Р1=Р(2:3,2:3)

Р1 =

10 12

11 10

Для выделения из матрицы столбца или строки (то есть массива, у которого один из размеров равен единице) следует в качестве одного из индексов использовать номер столбца или строки матрицы, а другой индекс заменить двоеточием без указания пределов. Например, запишите вторую строку матрицы Р в вектор р

»р = Р(2,:)

р =

4 10 12 5

При выделении блока до конца матрицы можно не указывать ее размеры, а использовать элемент end:

»р = Р(2, 2:end)

Р =

10 12 5

Удаление строк и столбцов

В MatLab парные квадратные скобки [ ] обозначают пустой массив, который, в частности, позволяет удалять строки и столбцы матрицы. Для удаления строки следует присвоить ей пустой массив. Удалите, например, первую строку квадратной матрицы:

» М = [2 0 3
1 1 4
6 1 3];
» М(1, :) = [ ];
» М
М =

1 1 4

6 1 3

Обратите внимание на соответствующее изменение размеров массива, которое можно проверить при помощи size:

» size(M) ans =

2 3

Аналогичным образом удаляются и столбцы. Для удаления нескольких идущих подряд столбцов (или строк) им нужно присвоить пустой массив. Удалите второй и третий столбец в массиве М

» М ( : , 2 : 3 ) = [ ]

М =

Индексация существенно экономит время при вводе матриц, имеющих определенную структуру.

2.7. Заполнение матриц при помощи индексации

Выше было описано несколько способов ввода матриц в MatLab. Однако часто бывает проще сгенерировать матрицу, чем вводить ее, особенно если она обладает простой структурой. Рассмотрим пример такой матрицы:

.

Генерация матрицы Т осуществляется в три этапа:

1. Создание массива Т размера пять на пять, состоящего из нулей.

2. Заполнение первой строки единицами.

3. Заполнение части последней строки минус единицами
последнего элемента.

Соответствующие команды MatLab приведены ниже.

» А(1:5, 1:5) = 0

А=

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

» А(1, :) = 1

A=

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

» А(end, 3:end) = -1

A=

1 1 1 1 1

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 -1 -1 -1

Создание некоторых специальных матриц в MatLab осуществляется при помощи встроенных функций.

Создание матриц специального вида

Заполнение прямоугольной матрицы нулями производится встроенной функцией zeros, аргументами которой являются число строк и столбцов матрицы:

» A+ zeros (3, 6)

A=

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

Один аргумент функции zeros приводит к образованию квадратной матрицы заданного размера:

» A+ zeros (3)

A=

0 0 0

0 0 0

0 0 0

Единичная матрица инициализируется при помощи функции eye:

» I = еуе (4)

I=

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Функция eye с двумя аргументами создает прямоугольную матрицу, у которой на главной диагонали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю:

» I = eye(4, 8)

I =

1 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

Матрица, состоящая из единиц, образуется в результате вызова функции
ones:

» Е= ones(3,7)

E=

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

Использование одного аргумента в ones приводит к созданию квадратной матрицы, состоящей из единиц.

MatLab предоставляет возможность заполнения матриц случайными элементами. Результатом функции rand является матрица чисел, распределенных случайным образом между нулем и единицей, а функции randn — матрица чисел, распределенных по нормальному закону:

» R = rand (3, 5)

R =

0. 9501 0.4860 0.4565 0.4447 0.9218

0. 2311 0.8913 0.0185 0.6154 0.7382

0. 6068 0.7621 0.8214 0.7919 0.1763

Один аргумент функций rand и randn приводит к формированию квадратных матриц:

Часто возникает необходимость создания диагональных матриц, т.е. матриц, у которых все недиагональные элементы равны нулю. Функция diag формирует диагональную матрицу из вектор-столбца или вектор-строки, располагая их элементы по диагонали матрицы:

» d=[l; 2; 3; 4 ] ;

» D= diag(d)

D = 1 0 0 0

0 2 0 0

0 0 3 0

0 0 0 4

Функция diag служит и для выделения диагонали матрицы в вектор, например

» А = [10 1 2; 1 20 3; 2 3 30];

»d=diag(A)

d =

Поэлементные операции с матрицами

Поскольку векторы и матрицы хранятся в двумерных массивах, то применение математических функций к матрицам и поэлементные операции производятся так же, как для векторов.

Введите две матрицы

, .

Умножение каждого элемента одной матрицы на соответствующий элемент другой производится при помощи оператора .* :

»C =А. *В

C=

-2 10 -8

21 -12 -45

Для деления элементов первой матрицы на соответствующие элементы второй используется оператор ./, а для деления элементов второй матрицы на соответствующие элементы первой служит .:

» Rl = A./B1

R1 =

-2.0000 2.5000 -0.1250

0.4286 -1.3333 -1.8.000

» R2 = А.В1

R2 =

-0.5000 0.4000 -8.0000

2.3333 -0.7500 -0.5556

Поэлементное возведение в степень осуществляется при помощи оператора .^/ Показатель степени может быть числом или матрицей того же размера, что и матрица, возводимая в степень. Во втором случае элементы первой матрицы возводятся в степени, равные элементам второй матрицы.

Визуализация матриц

» spy(G) После выполнения команды spy на экране появляется графическое окно Figure No. 1.На вертикальной и горизонтальной осях…

ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ

2. Введите две матрицы А и В размерностью три на три. 3. Выполните над матрицами операции сложения, вычитания и умножения. 4. Выполните транспонирование матриц А и В.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

 

1. Дьяконов В.П. MATLAB 6.5 SP1/7.0 Simulink 5/6/ - М.: СОЛОН-Пресс, 2005. – 575 с.

2. Ануфриев И.Е., Смирнов А.Б., Смирнова Е.Н.Самоучитель MatLab 7. - СПб.: БХВ-Петербург, 2005. - 1104 с.

3. Ануфриев И.Е. Самоучитель MatLab 5.3/6x. - СПб.: БХВ-Петербург, 2004.- 736 с.

4. Кетков Ю. MatLab 6x: Программирование численных методов - СПб.: БХВ-Петербург, 2004. - 672 с.