Предмет физики и ее связь с другими науками. Единицы физических величин. Система СИ.
Кинематика движения по криволинейной траектории. Тангенциальная и нормальная составляющие ускорения.
Криволинейное движение – это движение, траектория которого представляет собой кривую линию (например, окружность, эллипс, гиперболу, параболу). Примером криволинейного движения является движение планет, конца стрелки часов по циферблату и т.д. В общем случае скорость при криволинейном движении изменяется по величине и по направлению.
Понятие замкнутой системы. Закон сохранения и изменения импульса.
Механическая система тел, на которую не действуют внешние силы, называется замкнутой (или изолированной).
является законом сохранения импульса:импульс замкнутой системы сохраняется, т. е. не изменяется с течением времени.
Кинетическая энергия.
Кинетическая энергия механической системы — энергия механического движения этой системы.
Из формулы видно, что кинетическая энергия зависит только от массы и скорости тела, т.е. кинетическая энергия системы есть функция состояния ее механического движения.
Кинетическая энергия механической системы равна сумме кинетических энергий тел, входящих в систему.
Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета.
Силы инерции, действующие на тело, покоящееся во вращающейся системе отсчета.
Силы инерции, действующие на тело, движущееся во вращающейся системе отсчета.
Кориолисовой силой инерции :
Раскрывая содержание Fm в формуле получим основной закон ди намики для неинерциальных систем отсчета:
Принцип относительности Галилея. Преобразования Галилея. Инварианты преобразования.
Рассмотрим две системы отсчета: инерциальную систему К (с координатами х, у, z), которую условно будем считать неподвижной, и систему К' (с координатами х', у', z'), движущуюся относительно К равномерно и прямолинейно со скоростью и (и — const). Отсчет времени начнем с момента, когда начала координат обеих систем совпадают. Пусть в произвольный момент времени t расположение этих систем относительно друг друга имеет вид, изображенный на рис. 60. Скорость и направлена вдоль 00', радиус-вектор, проведенный из Ов О', f0 — ut. Найдем связь между координатами произвольной точки А в обеих системах. Из рис. 60 видно, что
(34,1)
(рис.60)
Уравнение (34.1) можно записать в проекциях на оси координат:
(34,2)
Уравнения (34.1) и (34.2) носят название преобразований координат Галилея.
В частном случае, когда система К' движется со скоростью v вдоль положительного направления оси х системы К (в начальный момент времени оси координат совпадают), преобразования координат Галилея имеют вид
В классической механике предполагается, что ход времени не зависит от относительного движения систем отсчета, т.е. к преобразованиям (34.2) можно добавить еще одно уравнение:
t=t'. (34.3)
Записанные соотношения справедливы лишь в случае классической механики (и <С с), а при скоростях, сравнимых со скоростью света, преобразования Галилея заменяются более общими преобразованиями Лоренца1 (см. § 36). Продифференцировав выражение (34.1) по времени [с учетом (34.3)], получим уравнение
(34,4)
которое представляет собой правило сложения скоростей в классической механике.
Ускорение в системе отсчета К
Таким образом, ускорение точки А в системах отсчета К и К', движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно, одинаково:
(34,5)
Следовательно, если на точку А другие тела не действуют (а =0), то, согласно (34.5), и а! = 0, т.е. система К' является инерциальной (точка движется относительно нее равномерно и прямолинейно или покоится). Изуравнения (34.5) следует, что если выполняется равенство F — та, то выполняется и равенство F' = то! (масса имеет одинаковое числовое значение во всех системах отсчета). Поскольку системы К и К' были выбраны произвольно, то полученный результат означает, что уравнения динамики при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой формулируются одинаково. Это утверждение и есть механический принцип относительности (принцип относительности Галилея). Галилей первым обратил внимание на то, что никакими механическими опытами, проведенными в данной инерциальной системе отсчета, нельзя установить, покоится ли она или движется равномерно и прямолинейно. Например, сидя в каюте корабля, движущегося равномерно и прямолинейно, мы не можем определить, покоится корабль или движется, не выглянув в окно.
Инвариантные величины — величины, имеющие одно и то же числовое значение во всех системах отсчетах.
Основной закон релятивистской динамики материальной точки. Закон взаимосвязи массы и энергии.
Рис.1
Из выражения (5) непосредственно вытекает дифференциальное уравнение гармонических колебаний
(6)
(где s = A cos(ω0t+φ)). Решением данного дифференциального уравнения является выражение (1).
Гармонические колебания графически изображаются методом вращающегося вектора амплитуды, или методом векторных диаграмм. Для этого из произвольной точки О, которая выбрана на оси х, под углом φ, который равен начальной фазе колебания, откладывается вектор А, у которого модуль равен амплитуде А рассматриваемого колебания (рис. 2). Если данный вектор привести во вращение с угловой скоростью ω0, которая равна циклической частоте колебаний, то проекция конца вектора будет перемещаться по оси х и принимать значения от –А до +А, а колеблющаяся величина будет изменяться со временем по закону s = Acos(ω0t+φ). Значит, гармоническое колебание можно представить как проекцию на некоторую выбранную произвольным образом ось вектора амплитуды А, который отложен из произвольной точки оси под углом φ , равным начальной фазе, и вращающегося с угловой скоростью ω0 вокруг этой точки.
Рис.2
В физике часто используется другой метод, отличающийся от метода вращающегося вектора амплитуды лишь по форме. В данном методе колеблющуюся величину представляют комплексным числом. Используя формулу Эйлера, для комплексных чисел
(7)
где - мнимая единица. Значит уравнение гармонического колебания (1) можно представить в комплексной форме:
(8)
Вещественная часть формулы (8)
есть гармоническое колебание. Обозначение Re вещественной части условимся опускать и (8) записывать в форме
В теории колебаний уславливаются, что колеблющаяся величина s равна вещественной части комплексного выражения, стоящего в этом равенстве справа.
Рис.1
Если маятник из положения равновесия отклонили на некоторый угол α, то, используя уравнение динамики вращательного движения твердого тела, момент M возвращающей силы
(4)
где J — момент инерции маятника относительно оси, которая проходит через точку подвеса О, l – расстояние между осью и центром масс маятника, Fτ ≈ –mgsinα ≈ –mgα — возвращающая сила (знак минус указывает на то, что направления Fτ и α всегда противоположны; sinα ≈ α поскольку колебания маятника считаются малыми, т.е. маятника из положения равновесия отклоняется на малые углы). Уравнение (4) запишем как
или
Принимая
(5)
получим уравнение
идентичное с (1), решение которого (1) найдем и запишем как:
(6)
Из формулы (6) вытекает, что при малых колебаниях физический маятник совершает гармонические колебания с циклической частотой ω0 и периодом
(7)
где введена величина L=J/(ml) — приведенная длина физического маятника.
Точка О' на продолжении прямой ОС, которая отстоит от точки О подвеса маятника на расстоянии приведенной длины L, называетсяцентром качаний физического маятника (рис. 1). Применяя теорему Штейнера для момента инерции оси, найдем
т. е. ОО' всегда больше ОС. Точка подвеса О маятника и центр качаний О' имеют свойство взаимозаменяемости: если точку подвеса перенести в центр качаний, то прежняя точка О подвеса будет новым центром качаний, и при этом не изменится период колебаний физического маятника.
3. Математический маятник — это идеализированная система, состоящая из материальной точки массой m, которая подвешена на нерастяжимой невесомой нити, и которая колеблется под действием силы тяжести. Хорошее приближение математического маятника есть небольшой тяжелый шарик, который подвешен на длинной тонкой нити. Момент инерции математического маятника
(8)
где l — длина маятника.
Поскольку математический маятник есть частный случай физического маятника, если предположить, что вся его масса сосредоточена в одной точке — центре масс, то, подставив (8) в (7), найдем выражение для периода малых колебаний математического маятника
(9)
Сопоставляя формулы (7) и (9), видим, что если приведенная длина L физического маятника равна длине l математического маятника, то периоды колебаний этих маятников одинаковы. Значит, приведенная длина физического маятника — это длина такого математического маятника, у которого период колебаний совпадает с периодом колебаний данного физического маятника.
Движение гармонического осциллятора при наличии сил сопротивления. Свободные затухающие колебания.
36)
Преобразуем и (3.3.2) через косинус:
(3.3.5)
Обозначим – угол между смещением и вынуждающей силой.
Подставим (3.3.3), (3.3.4) и (3.3.5) в (3.3.1):
Каждое слагаемое последнего уравнения можно представить в виде соответствующего вращающегося вектора амплитуды:
– амплитуда ускорения; – амплитуда скорости; – амплитуда смещения; – амплитуда вынуждающей силы, причем
Вектор амплитуды силы найдем по правилу сложения векторов:
.
Рис. 3.3
Из рис. 3.2 видно, что . Найдем амплитуду А:
(3.3.7)
Таким образом, и .
При постоянных F0, m и β амплитуда зависит только от соотношения круговых частот вынуждающей силы ω и свободных незатухающих колебаний системы ω0.
Начальную фазу вынужденных колебаний можно найти из выражения
(3.3.8)
Из рис. 3.3 видно, что сила опережает смещение на угол, который определяется из выражения
.
Проанализируем выражение (3.3.7).
1) (частота вынуждающей силы равна нулю), тогда
– статическая амплитуда (колебания не совершаются).
2) (затухания нет). С увеличением ω (но при ) амплитуда растет и при резко возрастает ( ). Это явление называется резонанс. При дальнейшем увеличении ω ( ) амплитуда опять уменьшается (рис. 3.4).
Рис. 3.4
3) Амплитуда будет максимальна при минимальном значении знаменателя. Для нахождения точки перегиба возьмем первую производную по ω от подкоренного выражения (3.3.7) и приравняем ее к нулю:
4) ω ≠ 0, следовательно, выражение в скобках равно нулю:
, отсюда
где ωрез – резонансная частота.
Явление возрастания амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к ωрез называетсярезонансом.
Для консервативной системы, т.е. из (3.3.9) следует ; для диссипативной ωрез несколько меньше собственной круговой частоты ω0 (рис. 3.4).
С увеличением коэффициента затухания β явление резонанса проявляется все слабее и исчезает при .