Гармоническим осциллятором называется система, которая совершает колебания, описываемые выражением вида d2s/dt2 + ω02s = 0 или
(1)
где две точки сверху означают двукратное дифференцирование по времени. Колебания гармонического осциллятора есть важный пример периодического движения и служат точной или приближенной моделью во многих задачах классической и квантовой физики. В качестве примеров гармонического осциллятора могут быть пружинный, физический и математический маятники, колебательный контур (для токов и напряжений настолько малых, что можно было бы элементы контура считать линейными).
1. Пружинный маятник — это груз массой m, который подвешен на абсолютно упругой пружине и совершает гармонические колебания под действием упругой силы F = –kx, где k — жесткость пружины. Уравнение движения маятника имеет вид
или
Из формулы (1) вытекает, что пружинный маятник совершает гармонические колебания по закону х = Асоs(ω0t+φ) с циклической частотой
(2)
и периодом
(3)
Формула (3) верна для упругих колебаний в границах, в которых выполняется закон Гука, т. е. если масса пружины мала по сравнению с массой тела. Потенциальная энергия пружинного маятника, используя (2) и формулу потенциальной энергии предыдущего раздела, равна
2. Физический маятник — это твердое тело, которое совершает колебания под действием силы тяжести вокруг неподвижной горизонтальной оси, которая проходит через точку О, не совпадающую с центром масс С тела (рис. 1).