Формула обернення

 

Заключним етапом рішення задачі про проходження сигналу через лінійну стаціонарну систему за допомогою операторного методу є пошук оригіналу, якому відповідає зображення

Розглянемо окремий випадок, коли функція являє собою відношення двох багаточленів по ступенях комплексної частоти:

,

причому будемо вважати, що ступінь чисельника не перевершує ступеня знаменника п і, крім того, корені знаменника – прості.

Спосіб знаходження оригіналу, що відповідає такому зображенню, ґрунтується на представленні функції у вигляді суми елементарних дробів:

.

Коефіцієнти є відрахуваннями функції в точках полюсів, тому

.

Як відомо, зображенню відповідає оригінал . Таким чином, приходимо до відомої формули обернення:

.

(2.78)

Приклади знаходження вихідних сигналів операторним методом. При практичному використанні операторного методу більшу частину формальних обчислень можна виключити, звертаючись до широко розповсюджених таблиць перетворень Лапласа.

Приклад2.17.Знайти перехідну характеристику -кола (рис.2.40).

Тут тому .

Розкладаючи цю функцію на елементарні дроби, маємо

.

 

Оригінали, що відповідають обом доданкам у правій частині останньої формули, добре відомі (див. [5, 6]). Шуканий результат має вигляд

.

Приклад 2.18.На вході -кола діє прямокутний відеоімпульс ЕРС із заданими тривалістю Т та амплітудою (рис.2.41) Вихідним сигналом служить напруга на конденсаторі кола. Знайти функцію, що описує зміну в часі напруги .

.

Вхідний сигнал має зображення

Множник свідчить про зсув в часі на величину . Тому, використовуючи результат, отриманий у прикладі 2.17, можна записати

.

Для наочності останню формулу доцільно представити так:

Графік вихідної напруги на конденсаторі зображено на рис. 2.42, а.

Якщо вихідний сигнал знімається з резистора, то при тих же параметрах і напруга на резисторі .(рис.2.42,б)

Приклад 2.19.Імпульсна характеристика паралельного коливального контуру (рис.2.43).

Паралельний коливальний контур із втратами збуджується дельта-імпульсом струму в нерозгалуженій частині кола. Вихідним сигналом служить напруга на контурі. Рівність вказує на те, що передавальною функцією в цьому випадку служить операторний опір контуру

(2.79)

де .

Формулу (2.79) зручно подати у вигляді

(2.80)

де – частота власних коливань у контурі із втратами.

Зображенням дельта-імпульсу струму служить одиниця, тому імпульсна характеристика даної системи - це оригінал, що відповідає зображенню (2.80). По таблицях перетворень Лапласа знаходимо

.

(2.81)

Якщо контур високо добротний то формула (2.81) трохи спрощується:

.

(2.82)

Імпульсна характеристика коливального контуру має характерний вигляд гармонійного коливання з обвідною, яка експоненціально зменшується в часі (рис. 2.44).

Необхідно пам'ятати, що формули (2.81) і (2.82) відповідають збудженню контуру нескінченно коротким імпульсом струму, площа якого проте становить . У реальному масштабі – це дуже велика величина: прямокутний імпульс тривалістю 1 мкс повинен мати гігантську амплітуду 10⁶А! Не дивно, що при С=1000 пФ такий імпульс викличе в початковий момент часу напругу . Реальний імпульс струму з амплітудою 0,01 А и тривалістю має 1 мкс площу ; при пФ початкова напруга на контурі складе лише 10 B.

Отже, при напруга на паралельному контурі, що збуджується коротким імпульсом струму довільної форми із площею , має вигляд

Цей ряд прикладів можна було б продовжити та розглянути, наприклад, більш складне завдання про включення в коливальний контур джерела гармонічної ЕРС. Однак при цьому отримуємо точні рішення досить громіздкі.