Просочування спектральних складових

Вибір кінцевого часового інтервалу тривалістю NT секунд і ортогонального тригонометричного базису на цьому інтервалі обумовлює цікаву особливість спектрального розкладу. 3 континууму можливих частот тільки співпадаючі з частотами базису будуть проектуватися на єдиний базисний вектор, а вся решта частот буде мати ненульові проекції на будь-який з векторів базисної множини. Це явище, яке звичайно називають розмиванням або просочуванням спектральних складових (spectral leakage), виникає через кінцеву тривалість оброблюваних записів. Хоча частота відліків і впливає на ступінь розмивання, сама по собі дискретизація не є його причиною.

Щоб зрозуміти причину розмивання, досить зауважити, що сигнали з частотами, відмінними від базисних, неперіодичні у вікні спостереження. Якщо природний період сигналу несумірний з тривалістю інтервалу спостереження, періодичне продовження сигналу буде мати розриви на межах інтервалу. Ці розриви дають спектральні внески на всіх базисних частотах (тобто відбувається розмивання). Види виникаючих розривів наведені на рис.10.1.

 

 

Рис. 10.1. На проміжку спостереження періодичне продовження синусоїди неперіодичне

Вікна представляють собою вагові функції, що використовуються для зменшення розмивання спектральних компонент, обумовлених кінцевістю інтервалів спостереження. Так, можна вважати, що дія вікна на масив даних (як мультиплікативної вагової функції) полягає у зменшенні порядку розриву на межі періодичного продовження. Цього добиваються, погоджуючи на межі якомога більшу кількість похідних зважених даних. Найпростіше забезпечити таке узгодження наближення цих похідних до нуля. Таким чином, поблизу меж інтервалу зважені дані плавно прямують до нуля, так що періодичне продовження сигналу виявляється безперервним аж до похідних вищих порядків.

Ще можна вважати, що вікно мультиплікативно впливає на базисну множину так, щоб сигнал довільної частоти мав значні проекції тільки на ті базисні вектори, частоти яких близькі до частоти сигналу. Обидва підходи приводять до однакових результатів.