Единичный импульс
Т.к. при всех n, кроме n=0, где x(n)=1, , то:
X(z)=1
X(z) сходится на всей z-плоскости, т.к. единичный импульс является последовательностью конечной длины.
Единичный скачок
x(n)=0 везде, кроме , где x(n)=1, тогда:
Полученное выражение представляет собой геометрическую прогрессию. X(z) сходится при , т.к. X(z) имеет единственную особую точку (полюс).
0+j*1
0-j*0
Простая экспоненциальная последовательность
Особая точка:
z=a
X(z) – cходится при z=a<1.
Комплексная экспонента с единичной амплитудой.
X(z)=
Особая точка: 1-
z=
Ряд X(z) – сходится, т.к. имеет только одну особую точку.
Комплексная экспонента с убывающей амплитудой.
Особые точки:
;
Это общий случай всех рассмотренных точек, расположенных на z-плоскости.
Соотношение между z-преобразованием и Фурье-преобразованием последовательности, о.с. при :
, что совпадает с преобразованием Фурье исходной последовательности.
На z-плоскости изображают как полюса (крестиками), так и нули функции X(z). Тогда можно восстановить исходную функцию X(z), зная расположение ее нулей z1, z2,… и полюсов p1, p2,…:
…
после перемножений получим:
…, где А – произвольная постоянная (м.б. =1)
Полученное выражение часто используется при синтезе цифровых фильтров.