Расчет БИХ-фильтров по аналоговому прототипу

Передаточная функция агалогового фильтра – преобразование Лапласа от импульсной характеристики. Предположим, что:

(*)

причем коэффициенты – известны, S – оператор Лапласа.

Дифференциальное уравнение фильтра имеет вид:

(**)

где x(t) b y(t) – сигналы на входе и выходе фильтра соответственно.

Наиболее рапространенные методы дискретизации аналогового фильтра с передаточной функцией (*) является следующие:

1) метод отображения дифференциалов

2) метод инвариантного преобразования импульсной характеристики

3) метод билинейного преобразования

4) метод согласованного z-преобразования

Метод отображения дифференциалов

Один из наиболее простых методов дискретизации системы – замена дифференциалов в ее дифференциальном управлении на конечные разности, что дает возможность получить разностное уравнение.

(**) à (***) ;

,где x(n) – последовательности на входе ЦФ.

y(n) – последовательность на выходе фильтра

i-е разности и определяются:

Причем:

- обратная разность;

- прямая разность.

Производная в точках приравнивается (n) или к прямой (справа), или к обратной (слева) разностям.

При использовании обратных разностей:

С точки зрения операторов это соответствует:

или

при , получим:

Действительная и мнимая части z:

Вывод: при использовании обратных разностей устойчивый аналоговый фильтр будет отображаться в устойчивый цифровой фильтр но избирательные свойства аналогового фильтра не будут сохраняться.

Прямые разности – можно показать, что ось не отображется в окружность, и что все точки не лежат внутри единичной окружности, т.е. ЦФ получается не всегда устойчивым и его избирательные свойства неизвестны.

Поэтому используется метод обобщенных разностей. (Более сложаня методика дискретизации аналоговых фильтров).

Первая производная:

;

где – порядок используемых разностей.

Такое соотношение описывает отображение:

Выбирая значения коэффициентов ai, можно добиться практически любой точности аппроксимации.

Однако основная трудность – нахождение этих коэффициентов,

поэтому этот метод не нашел практического применения и теоретически не разработан.

Метод инвариантного преобразования импульсной характеристики. Билинейное Z – преобразование. Согласованное Z – преобразование. Обзор методов расчета аналоговых фильтров НЧ (Баттерворта, Бесселя, Чебышева типа 1 и 2, эллиптические фильтры).