ДПФ конечной последовательности {x(n)} определено ранее:
W – является периодической последовательностью с периодом N.
Иногда записывают вместо
Подчеркивая периодичность с периодом N.
Если x(n) – комплексная последовательность, то из (*) при вычислении N-точечного ДПФ нужно вычислить
N(N-1) – комплексных сложений.
Идея БПФ: разбить исходную последовательность из N – отсчетов на две более короткие т.о. что бы ДПФ всей последовательности было вычислено исходя из этих двух.
Рассмотрим N-точечную последовательность {x(n)}, считая, что N=степень 2, т.е.
N=2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, …
Возьмем две последовательности
{x1(n)} и {x2(n)} из четных и нечетных отсчетов последовательности {x(n)}
x1(n)=x(2n) n=0, 1, … , (N/2) – 1
x2(n)=x(2n+1) n=0, 1, … , (N/2) – 1
N – точечные ДПФ последовательности x(n)
Учитывая, что
Перепишем (**)
,где X1(k) и X2(k) равны соответственно (Т/2) – точечным ДПФ последовательностей x1(n) и x2(n). Из (***) следует, что N – точечное ДПФ может быть разложено на два (N/2) – точечных ДПФ.
Т.к. X(k) определено при
А X1(k) и X2(k) определено при
То необходимо доопределить формулу (***)
Квадраты – четырехточечные ДПФ.
Первый столбец – разбивка на x(n) последовательностей x1(четн) x2(нечетн)
Аналогично N/2 – точечные ДПФ могут быть записаны как комбинация двух N/4 – точечных ДПФ и т.д.
Процесс уменьшения размера ДПФ может быть продолжен до тех пор, пока не останутся только двухточечные ДПФ.
Двухточечное ДПФ может быть вычислено по формуле:
Т.о. вычисляется восьми точечная ДПФ.
Восьми точечное ДПФ, полученное последовательным прореживанием в 2 раза – БПФ.
О – операция +и
- - операция умножения.
a a+b
O
b a-b
Этот алгоритм БПФ называется алгоритмом БПФ с основанием два с прореживанием по времени.
Свойства алгоритма БПФ с основанием 2 и прореживанием по времени.
1. На каждом этапе БПФ (т.е. при каждом сокращении размеров БПФ) необходимо выполнить N/2 - комплексных умножений.
2. Общее количество этапов сокращения равно.
3.
Общее число комплексных умножений равно
4.
Для выполнения БПФ N – точечной последовательности, размещенной в памяти, достаточно иметь лишь одну дополнительную ячейку памяти.
5. Результаты всех промежуточных этапов БПФ можно размещать в те же ячейки памяти, где находились исходные ячейки памяти.
6. Перестановка данных и двоичная инверсия.
Для 8-ми точечного БПФ необходим такой порядок следования отсчетов.
x(0), x(4), x(2), x(6), x(1), x(5), x(3), x(7);
В случае, когда N – равно степени 2, входная последовательность должна быть разложена в двоично-инверсном порядке для того, что бы выходная последовательность получалась в прямом.
Номер | Двоичное представление | Двоичная инверсия | Двоичный инв. номер. |
7. На всех этапах БПФ используются коэффициенты
Алгоритм БПФ с прореживанием по частоте. Обратное ДПФ с помощью алгоритма обратного ДПФ. Алгоритмы БПФ с основанием 2.