рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Спектральное представление колебательных процессов

Спектральное представление колебательных процессов - раздел Связь, Телекоммуникаций и информатики   Обычной И Естественной Системой Отсчета Для Нас Является Врем...

 

Обычной и естественной системой отсчета для нас является время. Мы наблюдаем, как развивается, то или иное событие во времени. Для наблюдения изменения во времени мгновенных значений величины какого-то электрического явления (или любого другого явления, переведенного в напряжение посредством надлежащего преобразователя) можно использовать осциллограф. Иными словами, мы используем осциллограмму для наблюдения формы сигнала во временной области. Частотная представление - альтернатива временной области.

На рис показано временное и частотное представление сложного сигнала, состоящего из двух частотных составляющих. В частотной области показан амплитуды каждой синусоидальной волны в спектре в зависимости от частоты. Как видно, в данном случае спектр состоит лишь из двух волн.

Рисунок 3.1. Связь между временной и частотной областью

Спектр – это набор синусоидальных волн, которые, будучи определенным образом, скомбинированы, дают изучаемый нами сигнал во временной области.

Теория Фурье гласит, что любое электрическое явление во временной области может быть представлено также одной или комбинацией синусоидальных волн с соответствующими частотами, амплитудами и фазами. То есть можно преобразовать сигнал во временной области в его эквивалент в частотной области. Использование модели гармонических колебаний позволяет описывать сложные периодические движения.

Периодические сигналы.

Еще в 1822 году французский физик и математик Жан Батист Жозеф Фурье в своей работе «Аналитическая теория теплоты» показал, что любая периодическая функция может быть представлена в виде суммы гармонических функций (то есть синусов и косинусов), причем частоты этих функций являются кратными основной частоте. Так, если период некоторой функции x(t) равен T, то эта функция может быть представлена в виде суммы (разложения Фурье):

где ω = 2π/T , коэффициенты Фурье рассчитываются по формулам

,

В общем случае эта сумма должна содержать бесконечно много слагаемых, однако в большинстве практически значимых случаев коэффициенты этого разложения достаточно быстро убывают с ростом номера k (и соответствующей частоты ωk = k2π/T), поэтому практически всегда с достаточной степенью точности можно ограничиться относительно небольшим числом слагаемых.
С разложением периодической функции хорошо знакомы музыканты, которые знают, что каждой ноте (основному тону), взятой на любом музыкальном инструменте соответствует целый набор кратных частот (обертонов). Набор этих колебаний с кратными частотами составляет тембр звука. Член ряда Фурье называется первой гармоникой.Если колебания среды носят синусоидальный характер, сигнал называют гармоническим или чистым. Несколько гармонических сигналов образуют совокупность, называемую сложным звуком. В этом случае чистый звук с наименьшей частотой называют основным тоном, а остальные ‑ обертонами. Если колебания носят непериодический произвольный характер, то такой звук называют шумом(рис.3.2).

Рис. 3.2.. Типовые колебания воздуха

На рис. 3-3 показана временная форма сложного сигнала.

Рисунок 3-3. Сложный сигнал во временной области

Рассмотрим примеры:

На рис. 3.4 изображены два синусоидальных колебания, частоты которых относятся как 1:5, а отношение амплитуд выбрано 5:1, и результат сложения этих колебаний:

и .

Рис. 3.4. Сложение двух колебаний (отношение частот 5:1, отношение амплитуд 1:3)

На рис.3.5 представлена сумма двух колебаний с одинаковой амплитудой, но несколько отличающимися частотами ; и сумма этих колебаний представляющее собой синусоидальное колебание с периодически изменяющейся амплитудой. Такую форму колебаний называют биениями.

Рис. 3.5. Сложение двух синусоидальных колебаний с равными амплитудами (соотношение частот 10:9).

Последовательность прямоугольных импульсов (рис.3.6) также можно представить в виде суммы простых синусоидальных колебаний. Это уже удается сделать с некоторым приближением, сложив три синусоиды S1, S3 и S5. Получится кривая Sr. Большее приближение к последовательности прямоугольных импульсов может быть достигнуто, если увеличить число слагаемых синусоид S7, S9 и т. д.

  Рис.3.6. Последовательность прямоугольных импульсов, три первые гармоники и их сумма
 

Рис. 3.7. Представление прямоугольных импульсов с помощью гармонических функций

 

Разложение в ряд Фурье периодических функций

Таблица1

График f(t) Разложение в ряд Фурье функции f(t) Примечание
k=1,3,5,...
k=1,3,5,...
k=1,3,5,...
k=1,2,3,4,5
k=1,3,5,...
k=1,2,3,4,5
S=1,2,3,4,..
k=1,2,4,6,..

В соответствии с теорией рядов Фурье точное равенство негармонического сигнала сумме гармоник имеет место только при бесконечно большом числе гармоник. Расчет гармонических составляющих на ЭВМ позволяет анализировать любое число гармоник, которое определяется целью расчета, точностью и формой негармонического воздействия. Если длительность сигнала t независимо от его формы много меньше периода T, то амплитуды гармоник будут убывать медленно, и для более полного описания сигнала приходится учитывать большое число членов ряда. Эту особенность можно проследить для сигналов, представленных в таблице 2 - 5 и 6, при выполнении условия τ <<T. Если негармонический сигнал по форме близок к синусоиде (например, сигналы 2 и 3 в табл.2), то гармоники убывают быстро, и для точного описания сигнала достаточно ограничиться тремя - пятью гармониками ряда.

Рисунок 3.8 - Спектральное представление ПППИ: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в) спектральная диаграмма фаз

Как видно из формулы ширина спектра ПППИ зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода.

Преобразование Фурье также может быть осуществлено и из частотной области во временную. В этом случае, опять же, теоретически нам надо знать все спектральные составляющие в диапазоне частот до ± бесконечности. На самом же деле, производя измерения только в той области частот, в которой содержится наибольшая часть энергии сигнала, можно получить вполне приемлемые результаты. При преобразовании Фурье из частотной области очень важно знать фазу индивидуальных составляющих. Например, прямоугольный периодический сигнал, переведенный в частотную область и обратно, может превратиться в пилообразный, если не были определены фазы.

Спектр сигнала — в радиотехнике это результат разложения сигнала на более простые в базисе ортогональные функции. В качестве разложения обычно используются преобразование Фурье, разложение по функциям Уолша, вейвлет-преобразование и др.

В радиотехнике в качестве базисных функций используют синусоидальные функции. Это объясняется рядом причин:

  • функции , являются простыми и определены при всех значениях t, являются ортогональными и составляют полный набор при кратном уменьшении периода;
  • гармоническое колебание является единственной функцией времени, сохраняющей свою форму при прохождении колебания через линейную систему с постоянными параметрами, могут только изменяться амплитуда и фаза;
  • для гармонических функций имеется математический аппарат комплексного анализа;
  • гармоническое колебание легко реализуемо на практике.

Кроме гармонического ряда Фурье применяются и другие виды разложений: по функциям Уолша, Бесселя, Хаара, Лежандра, полиномам Чебышева и др.

В цифровой обработке сигналов для анализа применяются дискретные преобразования: Фурье, Хартли, вейвлетные и др.

Причины использования спектрального представления. Расчет физических процессов в частотном представлении имеет огромные преимущества для линейных процессов, поскольку позволяет заменить сложную процедуру решения дифференциальных уравнений решением алгебраических уравнений. Сигнал может быть разложен на отдельные синусоидальные волны, или спектральные составляющие, которые затем можно исследовать независимо друг от друга. Каждая такая волна описывается амплитудой и фазой. Если сигнал, который мы хотим исследовать, - периодический (как в нашем случае), то по теории Фурье составляющие его синусоидальные волны будут разнесены в частотной области на 1/Т, где Т – это период сигнала. Измерения в частотной области способны показать, сколько энергии имеется на каждой конкретной частоте.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Телекоммуникаций и информатики

Федеральное агентство связи.. государственное образовательное учреждение.. высшего профессионального образования поволжский государственный университет..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Спектральное представление колебательных процессов

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

А.Г. Глущенко, Е.П.Глущенко
Введение в теорию колебаний. Конспект лекций. – Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2013. – 198 с.     Настоящее издание представляет собой учебное пособие к образовательному

Колебания в биологических объектах
Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов. Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой

Гармонические колебания
Гармоническое колебание —это колебание, при котором физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону

Аналитическое
Колебательный процесс описывается в виде периодической функции, например,

Метод фазовых траекторий
Метод описания колебаний путем построения траектории тражения системы в плоскости -

Траектория движения точки в плоскости называется фазовым портретом
Особенно просто выглядит фазовая траектория гармонического колебания, при котором координата и скорость описываются функциями 

Способы представления колебательных движений: Аналитический, табличный, графический, спектральный, векторные диаграммы, фазовый портрет
Гармонические колебания являются простейшей моделью колебательного движения достаточно часто встречающегося в действительности. Любое колебание может быть представлено как сумма гармонических ко

Сложение гармонических колебаний одного направления
Если колеблющееся система или тело участвует в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y. Она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотноше

Зачем, собственно, нужно считать спектры сигналов?
Во-первых, это позволяет по-новому взглянуть на сигнал, лучше понять его природу, найти характерные частоты сигнала (если их несколько, то по виду самого сигнала это может быть затруднительно). Нап

Анализ сигнала не включающий определения фазовых соотношений между синусоидальными составляющими называется спектральным анализом
У частотной области есть свои плюсы. Частотная область гораздо удобнее в плане измерений. Те, кто занимаются беспроводной связью, заинтересованы в определении внеполосного и паразитного излучения.

Непериодические сигналы
Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. Например, спектральное разложение идеального импульса (единичной мощности и нулевой

Гауссов импульс. Колоколообразный (гауссовский) импульс определяется выражением
Во временной области он изображен на рис. 14 а. Условно длительность такого импульса определяют по уровню е-1/ 2

Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум
Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире пол

Спектральный анализ
Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая с

Непрерывные спектры дают тела, находящиеся в твердом, жидком состоянии, а также сильно сжатые газы
Полосатые спектры в отличие от линейчатых спектров создаются не атомами, а молекулами, не связанными или слабо связанными друг с другом. Полосатые спектры имеют твердые тела.

Свободные колебания в системах с одной степенью свободы
Пружинный маятник (http://www.all-fizika.com/virtual/pryjin.php) Опишем движение небольшого бруска массой m, расположенного на гладкой горизонтальной поверхности и прикреп

Колебание жидкости в трубке
Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной  U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).

Свободные колебания в контуре
Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подклю

Плазменные колебания
В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов. Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтр

Фазовый портрет колебательной системы
В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение (t) и скорость меня

Положение равновесия в точке 0 на фазовой плоскости является особой точкой и называется особой точкой типа "центр"
Линейный осциллятор с затуханием. Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на характер движения системы. Наиболее простые закономерно

Нелинейные колебания
С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости

Затухающие механические колебания крутильного маятника
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн. Рассмотрим с

Период затухающих колебаний
. Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени,

Добротность
Пниях логарифмического декремента добротность равна (т

Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс
Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за  наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиа

Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденныминазываются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.

Установление колебаний
Мы уже отмечали, что если приложить к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени t=0, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено на рис. 2.7а. У

Колебательные системы с двумя степенями свободы
  Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:

Колебания систем со многими степенями свободы
Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя,

Колебания струны
Представим себе, что мы возбудили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встреч

Тоны и обертоны
Струна, оттянутая строго посередине, будет совершать колебания, показанные на рис. 8.3. Через каждые пол периода вся струна оказывается по разные стороны от положения равновесия. При этом на концах

Колебания воздушного столба
В духовых музыкальных инструментах (различных трубах) источником звука является колеблющийся столб воздуха, в котором, как и в струне, возникают стоячие волны. Его колебания возбуждаются вдуванием

Колебания струны, закрепленной с двух концов
Рис.8.7.   В силу граничных условий, заданных закреплением концов струны, уравнение стоячей волны при выбо

Параметрические колебания. Качели
Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава как качели. Тренировкам на этом снаряде придает большое значение даже летчики и космонавты. Когда малыша, сидящего на качелях, раскачивае

Http://fizportal.ru/physics-book-47-1
http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0     Приложение 1. Основные характеристики звука Упругие волны в воздухе, имеющ

Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха
Определение громкости звука основано на психофизическом законе, установленном в 1846 году Э.-Г. Вебером, который заложил основы "психометрии", т.е. количественных измерений ощущений. Поск

Некоторые сведения о музыкальных инструментах
Деревянные деки музыкальных инструментов выполняют функции резонаторов, обеспечивая хорошие условия звучания. Частоты струнных инструментов не зависят от резонатора. Основная частота звука

Добротность различных колебательных систем
Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами), наиболее распространенных в природе и технике. Примерами таких осцилля

Резонаторы
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты в

Основные формулы механических и электромагнитных колебаний
  Пружинный маятник Колебательный контур Механические величины Электрические величины

Метод комплексных амплитуд
Если в формуле Эйлера (1.53): под понимать фазу гармонических колебаний

Вынужденные колебания с произвольной частотой
Будем искать решение уравнения (2.10) в комплексном виде: (2.26)

Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний
Пусть кронштейн, к которому привязан левый конец шнура, совершает гармонические колебания где

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги