Лекция 4. Свободные колебания в системах с одной степенью свободы

Пружинный маятник (http://www.all-fizika.com/virtual/pryjin.php)

Опишем движение небольшого бруска массой m, расположенного на гладкой горизонтальной поверхности и прикрепленного к неподвижному упору с помощью легкой пружины жесткости k.

Рис.4.1. Пружинный маятник

 

Положение бруска будем описывать с помощью декартовой координаты x, начало отсчета которой совместим с положением, в котором пружина не деформирована. При отклонении бруска от положения равновесия на него будет действовать сила упругости пружины F, направленная к положению равновесия, ее модуль определяется законом Гука: F =- kx. На основании второго закона Ньютона и, пренебрегая трением, запишем уравнение, описывающее движение бруска: ,

или после преобразований:

Решение этого уравнения имеет вид:

где - циклическая частота собственных колебаний. Частота собственных колебаний

не зависит от их амплитуды при малой амплитуде (пока выполняется линейный закон Гука).Период колебаний бруска равен 

Полученные формулы для частоты и периода колебаний легко объяснимы: частота колебаний возрастает с ростом жесткости пружины и убывает при возрастании массы груза. Колебания, возникающие под действием внутренних возвращающих консервативных сил, называются свободными.

Рассмотрим теперь описание движения небольшого шарика массой m, подвешенного на легкой пружине жесткостью k (рис.).

Рис. 4.2. Вертикальный пружинный маятник

 

Направим ось Ox вертикально вниз, начало отсчета совместим с положением недеформированной пружины. В процессе движения на шарик действуют сила тяжести mg и сила упругости Fупр, модуль которой определяется законом Гука Fупр =- kx. Уравнение второго закона Ньютона в проекции на введенную ось имеет вид

Так как сила упругости зависит от координаты шарика (следовательно, не постоянна), то движение шарика не будет равноускоренным. Преобразуем уравнение (7)

Появившаяся в уравнении величина имеет наглядный смысл: она указывает положение равновесия шарика, в котором сила тяжести уравновешивается силой упругости . Теперь можно сместить начало отсчета оси координат, совместив его с положением равновесия. В этой измененной системе отсчета координата шарика равна , ускорение шарика и в новой системе отсчета остается прежним . Поэтому уравнение движения шарика в этой системе отсчета имеет вид, полностью совпадающий с уравнением гармонических колебаний

с частотой . Таким образом, постоянная сила, действующая в колебательной системе, не изменяет частоты колебания, а только смещает положение равновесия. Полное решение уравнения движения (9) нам известно, поэтому можно также записать и полное решение уравнения (7) в исходной системе отсчета

в котором произвольные постоянные A, B определяются из начальных условий.


Математический маятник.

(http://www.all-fizika.com/virtual/mayatnik.php http://physflash.narod.ru/Search/mechanics/25.htm ).

Небольшой шарик, подвешенный на легкой нерастяжимой нити, способен совершать свободное колебательное движение (рис.).

Для описания движения маятника будем считать шарик материальной точкой, пренебрежем массой нити и сопротивлением воздуха. Такая модель называется математическим маятником.

 

Рис.4.3. Математический маятник


В качестве координаты, описывающей положение шарика, выберем угол отклонения нити от вертикали . Для описания изменения этой координаты удобно использовать основное уравнение динамики вращательного движения

где − момент инерции системы, − угловое ускорение тела (вторая производная от угла поворота), − суммарный момент внешних сил действующих на систему. На шарик действуют силы тяжести mg и натяжения нити. Момент силы натяжения нити относительно точки подвеса равен нулю, поэтому уравнение (1) для подвешенного шарика приобретает вид: или

 

Это уравнение описывает колебания маятника, но не является уравнением гармонических колебаний. Однако, если считать углы отклонения малыми (<100 ), можно воспользоваться приближенной формулойв этом приближении уравнение превращается в уравнение гармонических колебаний

где − круговая частота малых колебаний маятника. Решение этого уравнения ищется в виде

здесь − максимальное отклонение нити, то есть амплитуда колебаний. Для простоты будем считать, что начальная скорость шарика равна нулю.
Период малых колебаний маятника выражается через круговую частоту

Так как малые колебания математического маятника являются гармоническими, то их период не зависят от амплитуды. Этот факт был экспериментально отмечен еще Г. Галилеем. Отметим, что период колебаний математического маятника не зависит также от массы шарика.
Формула (6) может быть использована и используется для экспериментального определения ускорения свободного падения. Длина нити и период колебаний достаточно просто измерить экспериментально, затем с помощью формулы (6) можно рассчитать ускорение свободного падения.


Математический маятник с пружиной.

Рассмотрим еще один пример колебательной системы, являющейся «гибридом» математического и пружинного маятника (рис.4.4): 

Рис. 4.4. Математический маятник с пружиной

 

к шарику, подвешенному на нити длиной l, прикреплена легкая пружина так, что в положении равновесия нить маятника располагается вертикально (в этом случае пружина не деформирована). По-прежнему, положение маятника будем описывать с помощью угла отклонения , который будем считать малым. Уравнение динамики вращательного движения относительно точки подвеса для шарика будет иметь вид

где − момент инерции маятника, − угловое ускорение, − момент силы тяжести, − момент силы упругости. Считая угол отклонения малым, удлинение пружины можно представить в виде и при этом можно считать, что ось пружины все время остается горизонтальной. В этом же приближении можно положить л, . Поэтому уравнение (1) упрощается

или

Это уравнение является уравнением гармонических колебаний: ускорение  пропорционально смещения от положения равновесия. Круговая частота этих колебаний равна

 

Физический маятник (http://physflash.narod.ru/Search/mechanics/25.htm)

Физическим маятником называется твердое тело, закрепленное на неподвижной горизонтальной ocи (оси подвеса), не проходящей через центр тяжести, и совершающее колебания относительно этой оси под действием силы тяжести. В отличие от математического маятника массу такого тела нельзя считать точечной.

Рис. 4.5. Физический маятник

 

При небольших углах отклонения (рис. 7.4) физический маятник так же совершает гармонические колебания. Будем считать, что вес физического маятника приложен к его центру тяжести в точке С. Силой, которая возвращает маятник в положение равновесия, в данном случае будет составляющая силы тяжести – сила F.

Знак минус в правой части означает то, что сила F направлена в сторону уменьшения угла. С учетом малости угла α

Для вывода закона движения математического и физического маятников используем основное уравнение динамики вращательного движения

. Момент силы: определить в явном виде нельзя. С учетом всех величин, входящих в исходное дифференциальное уравнение колебаний физического маятника имеет вид:

или

где

Решением этого уравнения является функция

Где - начальная фаза колебаний

Определим длину l математического, при которой период его колебаний равен периоду колебаний физического маятника, т.е.или

.
Из этого соотношения определяем:
Данная формула определяет приведенную длину физического маятника , т.е. длину такого математического маятника, период колебаний которого равен периоду колебаний данного физического маятника.

Конический маятник.

В коническом маятнике (рис.4.6) тело маятника (небольшое по размерам тело) вращается в горизонтальной плоскости. Угол, образуемый нитью подвеса с вертикалью, проведенной через точку подвеса, остается неизменным. Уравнение описывающее движение маятника имеет вид:

В проекциях на оси:

Рис.4.6. Конический маятник


отсюда . С другой стороны .
Отсюда получаем:

.

Для малых углов конуса; тогда период колебаний конического маятника

.

Крути́льный ма́ятник (также торсио́нный ма́ятник, враща́тельный ма́ятник) — механическая система, представляющая собой тело, подвешенное в поле тяжести на тонкой нити и обладающее лишь одной степенью свободы: вращением вокруг оси, задаваемой неподвижной нитью.

Рис. 4.7. Крутильный маятник

Если при повороте тела в нити возникает момент сил, пропорциональный углу поворота, то тело будет вращаться по гармоническому закону с периодом

,

где J— момент инерции тела, а k — вращательный коэффициент жёсткости маятника. Крутильный маятник представляет собой очень чувствительный механический прибор. Именно с помощью крутильного маятника изучается, например, гравитационное взаимодействие массивных тел в лаборатории и проверяется закон всемирного тяготения на субмиллиметровом масштабе.

Крутильным маятником является баланс — деталь балансирного механизма механических часов, вращательные колебания которой определяют точность их хода. В 2005 году было опубликовано сообщение о создании крутильного маятника на одной молекуле — одностенной углеродной нанотрубке (J. C. Meyer, M. Paillet and S. Roth, Science, 309, 1539 (2 September 2005)).

Существует много разновидностей механических колебательных систем, в которых используются силы упругих деформаций.