Лекция 5. Фазовый портрет колебательной системы.

В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение (t) и скорость меняются со временем. Состояние системы в каждый момент времени можно характеризовать двумя значениями и и на плоскости этих переменных это состояние однозначно определяется положением изображающей точки P с координатами значениями и . С течением времени изображающая точка P будет перемещаться по кривой, которую называют фазовой траекторией движения (рис. 1.10).

Рис.5.1. Фазовый портрет

Плоскость переменных значениями и называется фазовой плоскостью. Семейство фазовых траекторий образует фазовый портрет колебательной системы. Анализ фазового портрета дает хотя и не полную, но обширную информацию о колебательной системе. К построению такого портрета прибегают тогда, когда не удается решить аналитически уравнение, описывающее сложные колебания. В первую очередь это относится к нелинейным колебаниям, анализ которых затруднен из-за отсутствия за редким исключением точных решений нелинейных уравнений.

Приведем пример построения фазовой траектории. Пусть небольшой упругий шарик брошен вертикально вверх с начальной скоростью (рис.5.2). Если пренебречь сопротивлением воздуха, то скорость шарика будет изменяться со временем по закону , где g− ускорение свободного падения. Изменение координаты шарика с течением времени описывается функцией . Поднявшись на максимальную высо соту , шарик начнет падать, упадет на горизонтальную поверхность и отразится от неё.

Рис. 5.2. Периодическое движение прыгающего шарика

 

Если удар можно считать абсолютно упругим, то скорость шарика после удара примет первоначальное значение, после чего движение шарика будет повторяться. Графики зависимостей координаты и скорости шарика от времени показаны на рис.

 

Рис.5.3. Фазовый портрет гармонических колебаний

Эти же функции значениями и определяют в параметрической форме линию на фазовой плоскости – фазовую траекторию движения шарика. Эта линия показана на рис. Понятно, что при периодическом движении фазовая траектория является замкнутой, точка проходит одни те же положения через период. На фазовой траектории принято указывать направление движения: при положительной скорости координата возрастает, а при отрицательной скорости координата убывает.

Вначале рассмотрим пример простейших гармонического колебания вида . Поскольку скорость

опережает смещение по фазе на, то фазовая траектория будет эллипсом. Точка P будет двигаться по эллиптической траектории по часовой стрелке (при смещение увеличивается, а при - смещение уменьшается (рис. 5.4)).

Рис. 5.4. Фазовый портрет

Параметры эллипса определяются энергией, запасенной гармоническим осциллятором. Потенциальная энергия пружинного маятника пропорциональна квадрату смещения:

(1.24)

 

Кинетическая энергия пропорциональна квадрату скорости:

(1.25)

 

Если принять во внимание равенство то легко видеть, что взаимопревращения одного вида энергии в другой за период происходят дважды. При этом полная энергия системы остается постоянной:

(1.26)

 

Равенство (1.26) как раз и является уравнением эллипса, которое можно переписать в более удобном виде:

(1.27)

 

Фазовый портрет гармонического осциллятора представляет собой семейство эллипсов, каждому из которых соответствует энергия запасенная осциллятором.