Нелинейные колебания

С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости Колебания, как правило, перестают быть гармоническими, а фазовые траектории - эллипсами.

 

Рис. 5.6. Колебательное или вращательное движение массы

Проанализируем на фазовой плоскости колебания математического маятника при произвольных углах отклонения от положения равновесия. При этом будем считать, что точечная масса прикреплена не к нити, а к жесткому невесомому стержню длины Первое из уравнений запишем в виде

(1.28)

 

Это нелинейное уравнение не имеет точного аналитического решения, поэтому позднее мы приведем его приближенное решение. Однако многие закономерности таких колебаний можно проанализировать с использованием фазового портрета на плоскости С этой целью уравнение движение надо преобразовать к такому виду, чтобы в нем остались только эти переменные, а время было бы исключено. Для этого угловое ускорение в левой части преобразуем к виду:

(1.29)

 

Подставляя в уравнгение движения, получим

(1.30)

 

Полученное уравнение отражает тот факт, что приращение кинетической энергии маятника равно убыли его потенциальной энергии в поле силы тяжести. Интегрируя уравнение, получим

(1.31)

 

Если принять, что потенциальная энергия маятника в положении равновесия равна нулю, то константа выражается через запасенную маятником энергию ( - угловая скорость маятника в положении равновесия):

(1.32)

 

Уравнение фазовой траектории окончательно запишется в виде:

(1.33)

 

При этом потенциальная и кинетическая энергии задаются выражениями

(1.34)

 

Используя (1.33), построим фазовый портрет системы (рис.5.7).

Рис. 5.7.Фазовый портрет колебания точки описывает возможность колебательного и вращательного движения массы

Отчетливо видны два типа фазовых траекторий, соответствующие двум типам движения: замкнутым (колебания) и незамкнутым (вращение вокрыг точки подвеса) траекториям

Замкнутые траектории, окружающие особые точки типа "центр" с координатами ( - целое число), соответствуют колебаниям маятника относительно устойчивого нижнего положения равновесия. Такие колебания имеют место, если энергия системы (см. рис. 5.7). При этом, если то колебания будут гармоническими, а фазовые траектории - эллипсами. Если то колебания будут негармоническими. При увеличении энергии, а, значит, и амплитуды колебаний осциллятора, их период будет возрастать, поскольку возвращающая сила в уравнении (1.28) меньше, чем в случае гармонического осциллятора.

Верхнему положению равновесия с координатами соответствуют особые точки типа "седло".

Фазовые кривые, проходящие через неустойчивые точки , "седла", соответствуют энергии и называются сепаратрисами.Они разделяют фазовое пространство на области с различным поведением. С увеличением энергии маятника его колебания от квазигармонических вблизи точек типа центр эволюционируют к нелинейным периодическим колебаниям вблизи сепаратрис. Дальнейшее увеличение энергии приведет к вращательному движению (движение вне сепаратрис). Малейшие отклонения энергии в ту или иную сторону от энергии движения по сепаратрисе приводят к качественно различным типам движения: колебательному или вращательному.