Затухающие механические колебания крутильного маятника

Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.

Рассмотрим систему, совершающую крутильные затухающие колебания. Она представляет из себя брусок, подвешенный на струне, концы которой закреплены. На брусок для увеличения момента инерции может быть положено кольцо. После отклонения бруска на небольшой угол j от положения равновесия система будет совершать свободные крутильные колебания.

 

 

 

Рис. 6.3. Схема установки для наблюдения затухающихе крутильных механических колебаний

 

Получим дифференциальное уравнение затухающих крутильных колебаний. Чтобы выяснить, как изменяется со временем угол j(t) запишем основной закон динамики вращательного движения

,

где: J – момент инерции бруска, – угловое ускорение,

– момент сил упругости, – момент сил сопротивления.

Уравнение (1) спроектируем на ось OZ

,

где: – проекция углового ускорения,

– проекция силы упругости,

k – коэффициент упругости,

– проекция силы сопротивления (эта формула справедлива для малых скоростей вращения),

– угловая скорость,

r – коэффициент сопротивления.

Уравнение в скалярной форме примет вид

,

.

Обозначим – коэффициент затухания и – циклическая частота собственных колебаний, получим дифференциальное уравнение затухающих колебаний

 

 

Решением уравнения (2) при малом затухании w₀ > b является уравнение затухающих колебаний

(3)

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени

,

здесь А₀ – амплитуда в начальный момент времени t = 0. Выясним физический смысл коэффициента затухания. Обозначим через t время, в течение которого амплитуда колебаний уменьшается в е = 2,718 раз. Тогда

,

следовательно .