Добротность - раздел Связь, Телекоммуникаций и информатики
Пниях Лога...
Пниях логарифмического декремента добротность равна
(так как затухание мало (), то T принято равным Т0).
Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne,
совершаемых системой за время релаксации.
Затухающие колебания в электрическом контуре
Рассмотрим собственные колебания в контуре с сосредоточенными параметрами. Емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R образуют (рис.6.5) последовательный колебательный контур (RLC контур).
Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны. Это значит, что мгновенное значение силы тока i одно и то же в любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.
Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в этом контуре. В нашем случае сумма напряжений на конденсаторе и на активном сопротивлении равна ЭДС самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора
,
где – напряжение на конденсаторе,
– напряжение на активном сопротивлении,
– ЭДС самоиндукции в катушке.
Используем определение силы тока
.
Закон Кирхгофа примет вид
.
Разделим обе части этого уравнения на L
.
Введем следующие обозначения
– коэффициент затухания,
– циклическая частота собственных колебаний контура.
Получили дифференциальное уравнение затухающих колебаний, описывающее изменение со временем заряда на обкладках конденсатора в RLC контуре
(1)
Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентам.
1) Если w0 > b, то решением уравнения (1) является уравнение затухающих колебаний
, (2)
где: q0 – заряд конденсатора в начальный момент времени,
j0 – начальная фаза.
Значения q0 и j0 определяются из начальных условий.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени и убывает со временем по экспоненциальному закону
.
Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты
.
Период затухающих колебанийвсегда больше периода собственных колебаний
.
напряжение наконденсаторе
.
силу тока
.
После преобразования .
Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на p/2 и менее чем на p (при R = 0 на p/2).
График затухающих колебаний заряда q изображен на рис.6.6. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.
Рис.6.6. Определение времени релаксации
2) Пусть сопротивление контура велико, так что b > w0. В этом случае частота затухающих колебаний будет мнимой
,
где – мнимая единица.
Это значит, что электрических колебаний в контуре не будет. В этом случае решение дифференциального уравнения (1) имеет вид апериодического процесса
,
, ,
где А1 и А2 постоянные, так как b > w0, то К1 и К2 оба вещественны и положительны.
Значения постоянных определяются начальными условиями задачи
,
.
Это дает
, .
После чего решение принимает вид:
.
Рис.6.7. График апериодических колебаний
На рис. 6 изображены графически оба слагаемых этой формулы (пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Если сопротивление контура очень велико, так что b >> w0, то К1 >> К2 и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе –К2 по сравнению с К1. Тогда .
Из сказанного видно, что для возникновения колебаний в RLC контуре необходимо, чтобы выполнялось условие w0 > b. Подставляем вместо w0 и b их значения, находим условие возникновения колебаний
или ,
.
Критическое сопротивление – это сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический
.
Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Добротность пропорциональна отношению энергии W колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за период DW
.
Найдем связь между добротностью и логарифмическим декрементом затухания. При малых затуханиях w0 > b энергия меняется по закону
.
Найдем изменение энергии за один период колебаний
,
т.к. , если .
Подставим в добротность и учтем что d = bТ
.
Добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания или пропорциональна числу колебаний Ne, по прошествии которых амплитуда убывает в е = 2,718 раз
.
Их характерной особенностью является то, что они пересекают ось Ot не более одного раза, и возврат к равновесному состоянию у системы, выведенной из него, происходит за время порядка нескольких Такой режим движения называется критическим.
Наконец, если b > ω0то общее решение (1.52) является суммой двух убывающих с течением времени экспонент. Возможный вид зависимостей q(t) показан на рис. 6.7, и похож на критический, но возврат к равновесию осуществляется медленнее, чем в критическом режиме, поскольку вязкое трение больше. Данный режим движения называется апериодическим, или закритическим.
Отметим, что наиболее быстрое возвращение системы к положению равновесия происходит в критическом режиме, а в колебательном и апериодическом режимах этот процесс длится дольше. Поэтому, например, гальванометры - приборы для электрических измерений - работают обычно в режиме, близком к критическому, когда процесс установления их показаний, то есть смещения φ(t) рамки к устойчивому отклонению φ0 имеет наименьшую длительность.
Рис. 6.7.
Иллюстрацией к рассмотренным закономерностям затухающих колебаний являются фазовые портреты, построенные для колебательного b < ω0 а также критического и апериодического режимов (рис. 6.8).
Рис.6.8. Фазовые портреты процесса установления равновесия
При b < ω0 фазовый портрет представляет собой совокупность спиралей, стягивающихся в особую точку типа "фокус". На рис. 1.18 изображена одна из таких спиралей. За каждый оборот радиус спирали уменьшается в e раз. Для критического и апериодического режимов фазовые траектории сходятся в особую точку типа "узел".
Федеральное агентство связи... Государственное образовательное учреждение... высшего профессионального образования Поволжский государственный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Добротность
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
А.Г. Глущенко, Е.П.Глущенко
Введение в теорию колебаний. Конспект лекций. – Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2013. – 198 с.
Настоящее издание представляет собой учебное пособие к образовательному
Колебания в биологических объектах
Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов.
Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой
Гармонические колебания.
Гармоническое колебание —это колебание, при котором физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону
Аналитическое.
Колебательный процесс описывается в виде периодической функции, например,
Метод фазовых траекторий.
Метод описания колебаний путем построения траектории тражения системы в плоскости -
Сложение гармонических колебаний одного направления
Если колеблющееся система или тело участвует в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y. Она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотноше
Зачем, собственно, нужно считать спектры сигналов?
Во-первых, это позволяет по-новому взглянуть на сигнал, лучше понять его природу, найти характерные частоты сигнала (если их несколько, то по виду самого сигнала это может быть затруднительно). Нап
Непериодические сигналы.
Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. Например, спектральное разложение идеального импульса (единичной мощности и нулевой
Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум
Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире пол
Спектральный анализ
Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая с
Колебание жидкости в трубке.
Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).
Свободные колебания в контуре
Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подклю
Плазменные колебания.
В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов.
Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтр
Нелинейные колебания
С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости
Затухающие механические колебания крутильного маятника
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.
Рассмотрим с
Период затухающих колебаний
.
Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени,
Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.
Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиа
Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденныминазываются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.
Установление колебаний.
Мы уже отмечали, что если приложить к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени t=0, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено на рис. 2.7а. У
Лекция 8 Колебательные системы с двумя степенями свободы
Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:
Лекция 8. Колебания систем со многими степенями свободы.
Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя,
Колебания струны
Представим себе, что мы возбудили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встреч
Тоны и обертоны
Струна, оттянутая строго посередине, будет совершать колебания, показанные на рис. 8.3. Через каждые пол периода вся струна оказывается по разные стороны от положения равновесия. При этом на концах
Колебания воздушного столба
В духовых музыкальных инструментах (различных трубах) источником звука является колеблющийся столб воздуха, в котором, как и в струне, возникают стоячие волны. Его колебания возбуждаются вдуванием
Лекция 9. Параметрические колебания. Качели.
Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава как качели. Тренировкам на этом снаряде придает большое значение даже летчики и космонавты. Когда малыша, сидящего на качелях, раскачивае
Http://fizportal.ru/physics-book-47-1
http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0
Приложение 1. Основные характеристики звука
Упругие волны в воздухе, имеющ
Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха.
Определение громкости звука основано на психофизическом законе, установленном в 1846 году Э.-Г. Вебером, который заложил основы "психометрии", т.е. количественных измерений ощущений. Поск
Некоторые сведения о музыкальных инструментах.
Деревянные деки музыкальных инструментов выполняют функции резонаторов, обеспечивая хорошие условия звучания. Частоты струнных инструментов не зависят от резонатора. Основная частота звука
Добротность различных колебательных систем
Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами), наиболее распространенных в природе и технике. Примерами таких осцилля
Резонаторы
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты в
Новости и инфо для студентов