Добротность

Пниях логарифмического декремента добротность равна

(так как затухание мало (), то T принято равным Т0).

Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne,

совершаемых системой за время релаксации.

 

Затухающие колебания в электрическом контуре

Рассмотрим собственные колебания в контуре с сосредоточенными параметрами. Емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R образуют (рис.6.5) последовательный колебательный контур (RLC контур).

Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны. Это значит, что мгновенное значение силы тока i одно и то же в любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.

 

Рис.6.5. Последовательный колебательный контур (RLC контур

Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в этом контуре. В нашем случае сумма напряжений на конденсаторе и на активном сопротивлении равна ЭДС самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора

,

где – напряжение на конденсаторе,

– напряжение на активном сопротивлении,

– ЭДС самоиндукции в катушке.

Используем определение силы тока

.

Закон Кирхгофа примет вид

.

Разделим обе части этого уравнения на L

.

Введем следующие обозначения

– коэффициент затухания,

– циклическая частота собственных колебаний контура.

Получили дифференциальное уравнение затухающих колебаний, описывающее изменение со временем заряда на обкладках конденсатора в RLC контуре

(1)

Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентам.

1) Если w0 > b, то решением уравнения (1) является уравнение затухающих колебаний

, (2)

где: q0 – заряд конденсатора в начальный момент времени,

j0 – начальная фаза.

Значения q0 и j0 определяются из начальных условий.

Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени и убывает со временем по экспоненциальному закону

.

Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты

.

Период затухающих колебанийвсегда больше периода собственных колебаний

.

напряжение наконденсаторе

.

силу тока

.

После преобразования .

Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на p/2 и менее чем на p (при R = 0 на p/2).

График затухающих колебаний заряда q изображен на рис.6.6. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.

Рис.6.6. Определение времени релаксации

 

2) Пусть сопротивление контура велико, так что b > w0. В этом случае частота затухающих колебаний будет мнимой

,

где – мнимая единица.

Это значит, что электрических колебаний в контуре не будет. В этом случае решение дифференциального уравнения (1) имеет вид апериодического процесса

,

, ,

где А1 и А2 постоянные, так как b > w0, то К1 и К2 оба вещественны и положительны.

Значения постоянных определяются начальными условиями задачи

,

.

Это дает

, .

После чего решение принимает вид:

.

Рис.6.7. График апериодических колебаний

 

На рис. 6 изображены графически оба слагаемых этой формулы (пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Если сопротивление контура очень велико, так что b >> w0, то К1 >> К2 и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе –К2 по сравнению с К1. Тогда .

Из сказанного видно, что для возникновения колебаний в RLC контуре необходимо, чтобы выполнялось условие w0 > b. Подставляем вместо w0 и b их значения, находим условие возникновения колебаний

или ,

.

Критическое сопротивление – это сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический

.

Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Добротность пропорциональна отношению энергии W колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за период DW

.

Найдем связь между добротностью и логарифмическим декрементом затухания. При малых затуханиях w0 > b энергия меняется по закону

.

Найдем изменение энергии за один период колебаний

,

т.к. , если .

Подставим в добротность и учтем что d =

.

Добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания или пропорциональна числу колебаний Ne, по прошествии которых амплитуда убывает в е = 2,718 раз

.

Их характерной особенностью является то, что они пересекают ось Ot не более одного раза, и возврат к равновесному состоянию у системы, выведенной из него, происходит за время порядка нескольких Такой режим движения называется критическим.

Наконец, если b > ω0 то общее решение (1.52) является суммой двух убывающих с течением времени экспонент. Возможный вид зависимостей q(t) показан на рис. 6.7, и похож на критический, но возврат к равновесию осуществляется медленнее, чем в критическом режиме, поскольку вязкое трение больше. Данный режим движения называется апериодическим, или закритическим.

Отметим, что наиболее быстрое возвращение системы к положению равновесия происходит в критическом режиме, а в колебательном и апериодическом режимах этот процесс длится дольше. Поэтому, например, гальванометры - приборы для электрических измерений - работают обычно в режиме, близком к критическому, когда процесс установления их показаний, то есть смещения φ(t) рамки к устойчивому отклонению φ0 имеет наименьшую длительность.

Рис. 6.7.

Иллюстрацией к рассмотренным закономерностям затухающих колебаний являются фазовые портреты, построенные для колебательного b < ω0 а также критического и апериодического режимов (рис. 6.8).

Рис.6.8. Фазовые портреты процесса установления равновесия

При b < ω0 фазовый портрет представляет собой совокупность спиралей, стягивающихся в особую точку типа "фокус". На рис. 1.18 изображена одна из таких спиралей. За каждый оборот радиус спирали уменьшается в e раз. Для критического и апериодического режимов фазовые траектории сходятся в особую точку типа "узел".