Пниях логарифмического декремента добротность равна
(так как затухание мало (), то T принято равным Т0).
Из формулы следует, что добротность пропорциональна числу колебаний Ne,
совершаемых системой за время релаксации.
Затухающие колебания в электрическом контуре
Рассмотрим собственные колебания в контуре с сосредоточенными параметрами. Емкость С, индуктивность L и активное сопротивление R образуют (рис.6.5) последовательный колебательный контур (RLC контур).
Будем считать, что электрические процессы в контуре квазистационарны. Это значит, что мгновенное значение силы тока i одно и то же в любом месте контура и к мгновенным значениям электрических величин можно применять правила Кирхгофа.
Рис.6.5. Последовательный колебательный контур (RLC контур
Согласно второму правилу Кирхгофа алгебраическая сумма напряжений в любом замкнутом контуре равна алгебраическая сумме ЭДС, в этом контуре. В нашем случае сумма напряжений на конденсаторе и на активном сопротивлении равна ЭДС самоиндукции, которая возникает за счет изменения тока в катушке при перезарядке конденсатора
,
где – напряжение на конденсаторе,
– напряжение на активном сопротивлении,
– ЭДС самоиндукции в катушке.
Используем определение силы тока
.
Закон Кирхгофа примет вид
.
Разделим обе части этого уравнения на L
.
Введем следующие обозначения
– коэффициент затухания,
– циклическая частота собственных колебаний контура.
Получили дифференциальное уравнение затухающих колебаний, описывающее изменение со временем заряда на обкладках конденсатора в RLC контуре
(1)
Это однородное линейное дифференциальное уравнение второго порядка с обыкновенными производными и с постоянными коэффициентами. Решение этого уравнения имеет различный вид в зависимости от соотношения между коэффициентам.
1) Если w0 > b, то решением уравнения (1) является уравнение затухающих колебаний
, (2)
где: q0 – заряд конденсатора в начальный момент времени,
j0 – начальная фаза.
Значения q0 и j0 определяются из начальных условий.
Амплитуда затухающих колебаний зависит от времени и убывает со временем по экспоненциальному закону
.
Циклическая частота затухающих колебаний меньше собственной частоты
.
Период затухающих колебанийвсегда больше периода собственных колебаний
.
напряжение наконденсаторе
.
силу тока
.
После преобразования .
Таким образом, при наличии в контуре активного сопротивления ток опережает по фазе напряжение на конденсаторе более чем на p/2 и менее чем на p (при R = 0 на p/2).
График затухающих колебаний заряда q изображен на рис.6.6. Графики для напряжения и силы тока имеют аналогичный вид.
Рис.6.6. Определение времени релаксации
2) Пусть сопротивление контура велико, так что b > w0. В этом случае частота затухающих колебаний будет мнимой
,
где – мнимая единица.
Это значит, что электрических колебаний в контуре не будет. В этом случае решение дифференциального уравнения (1) имеет вид апериодического процесса
,
, ,
где А1 и А2 постоянные, так как b > w0, то К1 и К2 оба вещественны и положительны.
Значения постоянных определяются начальными условиями задачи
,
.
Это дает
, .
После чего решение принимает вид:
.
Рис.6.7. График апериодических колебаний
На рис. 6 изображены графически оба слагаемых этой формулы (пунктир) и их сумма (сплошная линия). Вместо колебаний происходит апериодический разряд конденсатора. Если сопротивление контура очень велико, так что b >> w0, то К1 >> К2 и в последнем выражении можно пренебречь вторым слагаемым по сравнению с первым, а в знаменателе –К2 по сравнению с К1. Тогда .
Из сказанного видно, что для возникновения колебаний в RLC контуре необходимо, чтобы выполнялось условие w0 > b. Подставляем вместо w0 и b их значения, находим условие возникновения колебаний
или ,
.
Критическое сопротивление – это сопротивление контура, при котором колебательный процесс переходит в апериодический
.
Добротность колебательной системы характеризует ее способность сохранять энергию колебаний. Добротность пропорциональна отношению энергии W колебаний системы в произвольный момент времени t к убыли этой энергии за период DW
.
Найдем связь между добротностью и логарифмическим декрементом затухания. При малых затуханиях w0 > b энергия меняется по закону
.
Найдем изменение энергии за один период колебаний
,
т.к. , если .
Подставим в добротность и учтем что d = bТ
.
Добротность обратно пропорциональна логарифмическому декременту затухания или пропорциональна числу колебаний Ne, по прошествии которых амплитуда убывает в е = 2,718 раз
.
Их характерной особенностью является то, что они пересекают ось Ot не более одного раза, и возврат к равновесному состоянию у системы, выведенной из него, происходит за время порядка нескольких Такой режим движения называется критическим.
Наконец, если b > ω0 то общее решение (1.52) является суммой двух убывающих с течением времени экспонент. Возможный вид зависимостей q(t) показан на рис. 6.7, и похож на критический, но возврат к равновесию осуществляется медленнее, чем в критическом режиме, поскольку вязкое трение больше. Данный режим движения называется апериодическим, или закритическим.
Отметим, что наиболее быстрое возвращение системы к положению равновесия происходит в критическом режиме, а в колебательном и апериодическом режимах этот процесс длится дольше. Поэтому, например, гальванометры - приборы для электрических измерений - работают обычно в режиме, близком к критическому, когда процесс установления их показаний, то есть смещения φ(t) рамки к устойчивому отклонению φ0 имеет наименьшую длительность.
Рис. 6.7.
Иллюстрацией к рассмотренным закономерностям затухающих колебаний являются фазовые портреты, построенные для колебательного b < ω0 а также критического и апериодического режимов (рис. 6.8).
Рис.6.8. Фазовые портреты процесса установления равновесия
При b < ω0 фазовый портрет представляет собой совокупность спиралей, стягивающихся в особую точку типа "фокус". На рис. 1.18 изображена одна из таких спиралей. За каждый оборот радиус спирали уменьшается в e раз. Для критического и апериодического режимов фазовые траектории сходятся в особую точку типа "узел".