Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.

Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за  наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиально различных способов создания колебательных систем незатухающих колебаний. Остановимся более подробно на рассмотрении незатухающих колебаний под действием внешней периодической силы. Такие колебания называются вынужденными.
Продолжим изучение движения гармонического маятника (рис. 6.9 ). 

 

рис. 6.9

Помимо рассмотренных ранее сил упругости и вязкого трения, на шарик действует внешняя  вынуждающая периодическая сила, изменяющаяся по гармоническому закону

частота, которой может отличаться от собственной частоты колебаний маятника ω_o.
Природа этой сил в данном случае нам не существенна. Создать такую силу можно различными способами, например, сообщить шарику электрический заряд и поместить его во внешнее переменное электрическое поле.
Уравнение движения шарика в рассматриваемом случае имеет вид

Разделим его на массу шарика и используем прежние обозначения параметров системы. В результате получим  уравнение вынужденных колебаний:

где f_o = F_o/m − отношение амплитудного значения внешней вынуждающей силы к массе шарика.
Общее решение уравнения (3) достаточно громоздко и, конечно, зависит от  начальных условий. Характер движения шарика, описываемого уравнением (3), понятен: под действием вынуждающей силы возникнуть колебания, амплитуда которых будет возрастать. Этот переходный режим достаточно сложен и зависит от начальных условий. По прошествии некоторого промежутка времени колебательный режим установится, их амплитуда перестанет изменяться. Именно установившийся режим колебаний, во многих случаях представляет основной интерес. Мы не будем рассматривать переход системы к установившемуся режиму, а сконцентрируем внимание на описании и изучении характеристик этого режима.
При такой постановке задачи нет необходимости задавать начальные  условия, так как интересующий нас установившийся режим не зависит от начальных условий, его характеристики полностью определяются самим уравнением.
С аналогичной ситуацией мы сталкивались при изучении движения тела под действием постоянной внешней силы и силы вязкого трения 

По прошествии некоторого времени тело движется с постоянной установившейся скоростью  v = F_o/β, которая не зависит от начальных условий, и полностью определяется уравнением движения. Начальные условия определяют режим, переходный к установившемуся движению.
На основании здравого смысла разумно предположить, что в установившемся  режиме колебаний шарик будет колебаться с частотой внешней вынуждающей силы. Поэтому решение уравнения (3) следует искать в гармонической функции с частотой вынуждающей силы.
Для начала решим уравнение (3), пренебрегая силой сопротивления

 Попробуем найти его решение в виде гармонической функции

Для этого вычислим зависимости скорости и ускорения тела от времени, как производные от закона движения 

и подставим их значения в уравнение (4)

Теперь можно сократить на  cosωt. Следовательно, это выражение обращается в верное тождество в любой момент времени, при выполнении условия

Таким образом, наше предположение о решении уравнения (4) в виде (5)  оправдалось: установившийся режим колебаний описывается функцией

Отметим, что коэффициент A согласно полученному выражению (6) может быть, как положительным (при ω < ω_o), так и отрицательным (при ω > ω_o). Изменение знака соответствует изменению фазы колебаний на π (причина такого изменение будет выяснена чуть позже), поэтому амплитудой колебаний является модуль этого коэффициента |A|.
Амплитуда установившихся колебаний, как и следовало ожидать, пропорциональна величине вынуждающей силы. Кроме того, эта амплитуда сложным образом зависит от частоты вынуждающей силы. Схематический график этой зависимости показан на рис. 6.10

Рис. 6.10 Резонансная кривая

 

Как следует из формулы (6) и хорошо видно на графике, при приближении  частоты вынуждающей силы к собственной частоте системы амплитуда резко возрастает. Причина такого возрастания амплитуды понятна: вынуждающая сила «во время» подталкивает шарик, при полном совпадении частот установившейся режим отсутствует − амплитуда возрастает до бесконечности. Конечно, на практике такого бесконечного возрастания наблюдать невозможно: во-первых, это может привести к разрушению самой колебательной системы, во-вторых, при больших амплитудах колебаний нельзя пренебрегать силами сопротивления среды.
 Резкое возрастание амплитуды вынужденных колебаний при приближении частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы называется явлением резонанса.
Приступим теперь к поиску решения уравнения вынужденных колебаний с учетом силы сопротивления 

Естественно, что и в этом случае решение следует искать в виде  гармонической функции с частотой вынуждающей силы. Легко заметить, что поиск решения в форме (5) в данном случае не приведет к успеху. Действительно, уравнение (8), в отличие от уравнения (4), содержит скорость частицы, которая описывается функцией синуса. Поэтому, временная часть в уравнении (8) не сократится. Следовательно, решение уравнения (8) следует представить в общей форме гармонической функции

в которой два параметра A_o и φ необходимо найти с помощью уравнения (8). Параметр A_o является амплитудой вынужденных колебаний, φ − сдвиг фаз между изменяющейся координатой и переменной вынуждающей силой. Используя тригонометрическую формулу для косинуса суммы, функцию (9) можно представить в эквивалентной форме

которая также содержит два параметра B = A_ocosφ и C = −A_osinφ, подлежащих определению. Используя функцию (10), запишем явные выражения для зависимостей скорости и ускорения частицы от времени

и подставим в уравнение (8):

Перепишем это выражение в виде 

Для того чтобы равенство (13) выполнялось в любой момент времени  необходимо, чтобы коэффициенты при косинусе и синусе были равны нулю. На основании этого условия получаем два линейных уравнения для определения параметров функции (10):

Решение этой системы уравнений имеет вид 

На основании формулы (10) определяем характеристики вынужденных колебаний: амплитуду 

сдвиг фаз

При малом затухании эта зависимость имеет резкий максимум при приближении частоты вынуждающей силы ω к собственной частоте системы ω_o. Таким образом, и в этом случае возможно возникновения резонанса, поэтому построенные зависимости часто называют резонансной кривой. Учет слабого затухания показывает, что амплитуда не возрастает до бесконечности, ее максимальное значение зависит от коэффициента затухания − с возрастанием последнего максимальная амплитуда быстро убывает.
Полученная зависимость амплитуды колебаний от частоты вынуждающей силы (16) содержит слишком много независимых параметров ( f_o, ω_o, γ) для того, чтобы построить полное семейство резонансных кривых. Как и во многих случаях, эту зависимость можно существенно упростить, перейдя к «безразмерным» переменным. Преобразуем формулу (16) к следующему виду

и обозначим

− относительная частота (отношение частоты вынуждающей силы к собственной частоте колебаний системы);

− относительная амплитуда (отношение амплитуды колебаний к величине отклонения A_o = f/ω_o² при нулевой частоте);

− безразмерный параметр, определяющий величину затухания. Используя эти обозначения, функция (16) существенно упрощается

так как содержит всего один параметр − δ.
Однопараметрическое семейство резонансных кривых, описываемых функцией  (16 б) может быть построено, особенно легко с помощью компьютера. Результат такого построения показан на рис. 629.