Вынужденные электромагнитные колебания - раздел Связь, Телекоммуникаций и информатики ВынужденнымиНазываются Такие Колебания, Которые Происходят В...
Вынужденныминазываются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.
Рис.6.12. Контур с вынужденными электрическими колебаниями
Рассмотрим процессы, протекающие в электрическом колебательном контуре (рис.6.12), присоединенном к внешнему источнику, ЭДС которого изменяется по гармоническому закону
,
где em – амплитуда внешней ЭДС,
w – циклическая частота ЭДС.
Обозначим через UC напряжение на конденсаторе, а через i - силу тока в контуре. В этом контуре кроме переменной ЭДС e(t) действует еще ЭДС самоиндукции eL в катушке индуктивности.
ЭДС самоиндукции прямо пропорциональна скорости изменения силы тока в контуре
.
Для вывода дифференциального уравнения вынужденных колебаний возникающих в таком контуре используем второе правило Кирхгофа
.
Напряжение на активном сопротивлении R найдем по закону Ома
.
Cила электрического тока равна заряду протекающему за единицу времени через поперечное сечение проводника
.
Следовательно
.
Напряжение UC на конденсаторе прямо пропорционально заряду на обкладках конденсатора
.
ЭДС самоиндукции можно представить через вторую производную от заряда по времени
.
Подставляя напряжения и ЭДС во второе правило Кирхгофа
.
Разделив обе части этого выражения на L и распределив слагаемые по степени убывания порядка производной, получим дифференциальное уравнение второго порядка
.
Введем следующие обозначения и получим
– коэффициент затухания,
– циклическая частота собственных колебаний контура.
. (1)
Уравнение (1) является неоднородным линейным дифференциальным уравнением второго порядка. Такого типа уравнения описывают поведение широкого класса колебательных систем (электрических, механических) под влиянием внешнего периодического воздействия (внешней ЭДС или внешней силы).
Общее решение уравнения (1) складывается из общего решения q1однородного дифференциального уравнения (2)
(2)
и любого частного решения q2неоднородного уравнения (1)
.
Вид общего решения однородного уравнения (2) зависит от величины коэффициента затухания b. Нас будет интересовать случай слабого затухания b << w0. При этом общее решение уравнения (2) имеет вид
, (3)
где B и j0 – постоянные, задаваемые начальными условиями.
Решение (3) описывает затухающие колебания в контуре. Входящие в (3) величины:
– циклическая частота затухающих колебаний;
– амплитуда затухающих колебаний;
– фаза затухающих колебаний.
Частное решение уравнения (1) ищем в виде гармонического колебания, происходящего с частотой, равной частоте w внешнего периодического воздействия – ЭДС, и отстающего по фазе на y от него
, (4)
где – амплитуда вынужденных колебаний, зависящая от частоты.
Подставим (4) в (1) и получим тождество
Чтобы сравнить фазы колебаний, используем тригонометрические формулы приведения
,
.
Тогда наше уравнение перепишется в виде
Представим колебания в левой части полученного тождества в виде векторной диаграммы (рис.6.13)..
Третье слагаемое, соответствующее колебаниям на емкости С, имеющее фазу (wt – y) и амплитуду , изобразим горизонтальным вектором, направленным вправо.
Рис.6.13. Векторная диаграмма
Первое слагаемое левой части, соответствующие колебаниям на индуктивности L, изобразится на векторной диаграмме вектором, направленным горизонтально влево (его амплитуда ).
Второе слагаемое, соответствующие колебаниям на сопротивлении R, изобразим вектором, направленным вертикально вверх (его амплитуда ), т. к. его фаза на p/2 отстает от фазы первого слагаемого.
Так как сумма трех колебаний слева от знака равно дает гармоническое колебание , то векторная сумма на диаграмме (диагональ прямоугольника) изображает колебание с амплитудой и фазой wt, которая на y опережает фазу колебаний третьего слагаемого.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора можно найти амплитуду A(w)
(5)
и tgy как отношение противолежащего катета к прилежащему катету.
. (6)
Следовательно, решение (4) с учетом (5) и (6) примет вид
. (7)
Общее решение дифференциального уравнения (1) является суммой q1 и q2
. (8)
Формула (8) показывает, что при воздействии на контур периодической внешней ЭДС в нем возникают колебания двух частот, т.е. незатухающие колебания с частотой внешней ЭДС w и затухающие колебания с частотой . Амплитуда затухающих колебаний со временем становится пренебрежимо малой, и в контуре остаются только вынужденные колебания, амплитуда которых не зависит от времени. Следовательно, установившиеся вынужденные колебания описываются функцией (4). То есть в контуре возникают вынужденные гармонические колебания, с частотой, равной частоте внешнего воздействия, и амплитудой , зависящей от этой частоты (рис.3а) по закону (5). При этом по фазе вынужденное колебание отстает на y от вынуждающего воздействия.
Продифференцировав выражение (4) по времени, найдем силу тока в контуре
,
где – амплитуда силы тока.
Запишем это выражение для силы тока в виде
, (9)
где – сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС.
В соответствии с (6) и рис.2
. (10)
Из этой формулы следует, что сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС зависит, при постоянном сопротивлении R, от соотношения между частотой вынуждающей ЭДС w и собственной частотой контура w0.
Если w < w0, то сдвиг по фазе между током и внешней ЭДС j < 0. Колебания силы тока опережают колебания ЭДС по фазе на угол j.
Если w > w0, тогда j > 0. Колебания силы тока отстают от колебаний ЭДС по фазе на угол j.
Если w = w0 (резонансная частота), то j = 0, т. е. сила тока и ЭДС колеблются в одинаковой фазе.
Федеральное агентство связи... Государственное образовательное учреждение... высшего профессионального образования Поволжский государственный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Вынужденные электромагнитные колебания
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
А.Г. Глущенко, Е.П.Глущенко
Введение в теорию колебаний. Конспект лекций. – Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2013. – 198 с.
Настоящее издание представляет собой учебное пособие к образовательному
Колебания в биологических объектах
Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов.
Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой
Гармонические колебания.
Гармоническое колебание —это колебание, при котором физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону
Аналитическое.
Колебательный процесс описывается в виде периодической функции, например,
Метод фазовых траекторий.
Метод описания колебаний путем построения траектории тражения системы в плоскости -
Сложение гармонических колебаний одного направления
Если колеблющееся система или тело участвует в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y. Она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотноше
Зачем, собственно, нужно считать спектры сигналов?
Во-первых, это позволяет по-новому взглянуть на сигнал, лучше понять его природу, найти характерные частоты сигнала (если их несколько, то по виду самого сигнала это может быть затруднительно). Нап
Непериодические сигналы.
Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. Например, спектральное разложение идеального импульса (единичной мощности и нулевой
Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум
Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире пол
Спектральный анализ
Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая с
Колебание жидкости в трубке.
Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).
Свободные колебания в контуре
Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подклю
Плазменные колебания.
В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов.
Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтр
Нелинейные колебания
С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости
Затухающие механические колебания крутильного маятника
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.
Рассмотрим с
Период затухающих колебаний
.
Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени,
Добротность
Пниях логарифмического декремента добротность равна
(т
Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.
Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиа
Установление колебаний.
Мы уже отмечали, что если приложить к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени t=0, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено на рис. 2.7а. У
Лекция 8 Колебательные системы с двумя степенями свободы
Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:
Лекция 8. Колебания систем со многими степенями свободы.
Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя,
Колебания струны
Представим себе, что мы возбудили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встреч
Тоны и обертоны
Струна, оттянутая строго посередине, будет совершать колебания, показанные на рис. 8.3. Через каждые пол периода вся струна оказывается по разные стороны от положения равновесия. При этом на концах
Колебания воздушного столба
В духовых музыкальных инструментах (различных трубах) источником звука является колеблющийся столб воздуха, в котором, как и в струне, возникают стоячие волны. Его колебания возбуждаются вдуванием
Лекция 9. Параметрические колебания. Качели.
Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава как качели. Тренировкам на этом снаряде придает большое значение даже летчики и космонавты. Когда малыша, сидящего на качелях, раскачивае
Http://fizportal.ru/physics-book-47-1
http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0
Приложение 1. Основные характеристики звука
Упругие волны в воздухе, имеющ
Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха.
Определение громкости звука основано на психофизическом законе, установленном в 1846 году Э.-Г. Вебером, который заложил основы "психометрии", т.е. количественных измерений ощущений. Поск
Некоторые сведения о музыкальных инструментах.
Деревянные деки музыкальных инструментов выполняют функции резонаторов, обеспечивая хорошие условия звучания. Частоты струнных инструментов не зависят от резонатора. Основная частота звука
Добротность различных колебательных систем
Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами), наиболее распространенных в природе и технике. Примерами таких осцилля
Резонаторы
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты в
Новости и инфо для студентов