рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Колебательные системы с двумя степенями свободы

Колебательные системы с двумя степенями свободы - раздел Связь, Телекоммуникаций и информатики   Связанные Колебательные Системы Влияют Друг На Друга. Колебан...

 

Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:

  • упругостью
  • трением
  • инерцией

Если одной из систем сообщили энергию и она совершает колебательное движение, то постепенно она передает свою энергию второй системе. Скорость передачи энергии зависит от того, насколько сильна связь, т. е. от степени связи χ.

Если у обеих систем одинаковая собственная частота, то после того, как система 1 придет в состояние покоя (ее энергия обратится в нуль), изменится направление потока энергии. Обе системы будут совершать биения, сдвинутые по времени на Тб/2.

Рис. 7.1. Связанные колебания, колебания связанных маятников

 

Биения возникают в результате сложения собственных (нормальных) колебаний обеих систем.

Имеются два возможных типа собственных колебаний связанных систем:

  • Системы колеблются в фазе (синфазно). Наличие связи не меняет частоты, и обе системы колеблются с частотой f1 = f0.

Рис.7.2. Связанные колебания — Системы колеблются в фазе

  • Системы колеблются в противофазе (∆φ = π). Из-за дополнительной жесткости Dсв, обусловленной наличием связи, частота колебаний уменьшается. Обе системы колеблются в этом случае с частотой f2.

Рис. 7.3. Связанные колебания — Системы колеблются в противофазе

Связанные колебания - собственные колебания в сложной системе, состоящей из связанных между собой простейших (парциальных) систем.

Особенности колебаний в связанных системах рассмотрим на примере двух математических или физических маятников, связанных между собой пружиной.

Свободный математический маятник, как известно, обладает двумя степенями свободы, то есть для описания его движения требуется два параметра – углы смещения в двух взаимно перпендикулярных плоскостях. Система из двух маятников описывается четырьмя параметрами и, следовательно, имеет четыре степени свободы. Если колебания, соответствующие каждой степени свободы, независимы, то задача описания движения является чисто кинематической, то есть задачей разложения сложного движения на сумму более простых движений. Если между движениями по различным степеням свободы имеется динамическая связь, при которой возбуждение одной степени свободы вызывает динамические изменения во всех остальных степенях свободы, то это приводит к обмену колебательной энергии между степенями свободы, приводя к новым физическим явлениям, отсутствующим у системы независимых маятников.

Как известно, для свободного математического маятника уравнение моментов будет

, (1)

где J – момент инерции маятника, m, l – его масса и длина соответственно, α – угол отклонения от положения равновесия. В случае двух маятников, связанных пружиной, на каждый маятник будет действовать дополнительная сила со стороны пружины Fсв, которая при небольших отклонениях может быть определена из закона Гука

Fсв = kl11 - α2),

где l1 – расстояние от точки крепления маятника до точки крепления пружины. Эта сила создает дополнительный момент, действующий на каждый из маятников. В этом случае уравнения движения маятников будут иметь вид

, (2)

где учтено, что . В общем случае уравнения колебаний в системе двух произвольных связанных маятников имеют вид

, (3)

, (4)

здесь x1 , x2 – отклонения маятников от положения равновесия, ω01 , ω02частоты собственных колебаний маятников (парциальные частоты), λ1 , λ2 – коэффициенты, определяющие величину связи между маятниками. Как следует из (2)-(4) для рассматриваемого случая.

. (5)

Решение системы (3),(4) легко найти с помощью метода комплексных амплитуд, если предположить, что в ней можно возбудить гармонические колебания на некоторой частоте ω, причем

,

, (6)

где – комплексные амплитуды колебаний маятников. После подстановки (6) в (3), (4) получим

, (7)

где ζ = x20/x10. Решением этой системы алгебраических уравнений являются

, (8)

. (9)

Здесь верхний знак перед корнем относится к ω1 и ζ1 , а нижний – к ω2 и ζ2 Общее решение системы (3), (4) имеет вид

, (10)

, (11)

где амплитуды и фазы A , B, ψ1 , ψ2 определяются начальными условиями, а частоты ω1, ω2 и коэффициенты ζ1 , ζ2 не зависят от начальных условий и определяются только свойствами колебательной системы. Для случая двух одинаковых связанных маятников из (9) следует ζ1 = 1 , ζ2 = -1 .

Таким образом, хотя в общем случае произвольное колебание маятников не является гармоническим, тем не менее его всегда можно представить в виде суммы двух гармонических колебаний с частотами ω1 и ω2. Эти колебания носят название нормальных колебаний (собственных колебаний системы), а частоты ω1 и ω2 – нормальных частот. Каждое нормальное колебание системы ( его называют также модой колебаний) является совокупностью колебаний обоих маятников, оно характеризуется частотой ω1 или ω2 , а также определенным соотношением между амплитудами колебаний каждого маятника (амплитуды отличаются соответственно в ζ1 или ζ2 раз). Нормальные колебания можно выделить в любой колебательной системе, состоящей из произвольного числа маятников, если движение этой системы описывается системой уравнений типа (3), (4). В том случае, когда в системе возбуждено одно нормальное колебание, каждый маятник колеблется по гармоническому закону с частотой этого колебания, а амплитуды и фазы колебаний всех входящих в систему маятников однозначно связаны между собой.

 

В общем случае в этой системе могут происходить четыре типа колебаний, соответствующих четырем степеням свободы: одно вертикальное, два маятниковых в двух взаимно-перпендикулярных плоскостях и одно крутильное.

Таким образом, перед нами возникает задача изучения основных закономерностей колебаний в системах с двумя, тремя и более степенями свободы, затем можно рассмотреть и колебания сплошной среды, как системы с бесконечно большим числом степеней свободы.

(3.12)

 

Производя суммирование тригонометрических функций в (3.12), получим:

(3.13)

 

Временные зависимости (3.13) изображены на рис. 3.6.

Видно, что колебания каждой из масс имеют форму биений. Период этих биений равен1

(3.14)

 

где частота биений

(3.15)

 

Если ввести среднюю частоту

(3.16)

 

то с этой частотой связан период колебаний

Если частота биений как это изображено на рис. 3.6, то В этом случае колебания обоих грузов будут почти гармоническими (квазигармоническими). Если переписать (3.13) с использованием средней частоты и частоты биений в виде:

(3.17)

 

то при колебания (3.17) можно трактовать как колебания с частотой и медленно меняющейся амплитудой

Так, в частности, для колебаний, изображенных на рис. 3.6 ( или ) и описываемых формулами (3.17), легко нарисовать спектр, поскольку уже известно спектральное разложение этого колебания (представление в виде суммы гармонических колебаний), задаваемое формулами (3.12).

Такой спектр изображен на рис. 3.7.

Рис.7.4. Спектр связанных колебаний

Этот спектр содержит две спектральные компоненты. Его можно охарактеризовать средней частотой и шириной В соответствии с формулой (3.14) произведение на период равно постоянной величине:

(3.18)

 

Формула (3.18) имеет глубокое физическое содержание. Так, если происходит некоторое квазигармоническое колебание вида

(3.19)

 

для которого амплитуда и фаза медленно меняются на масштабе времени (рис. 3.8а), то спектр такого колебания может состоять из большого числа частот.

 

Рис.7.5. Временная и спектральная характеистики

Эти частоты группируются вблизи центральной (основной) частоты в пределах характерного интервала частот обратно пропорционального временному масштабу На рис. 3.8б изображен этот спектр, где по оси ординат отложен квадрат амплитуды каждой из гармонических составляющих, причем между и существует связь:

Количественная связь между колебательным процессом и его спектром представляется (по аналогии с формулами (3.12)) в виде суммы конечного или бесконечного числа гармонических составляющих (в виде ряда или интеграла Фурье). Такое представление будет широко использоваться в курсе "Оптика".

Колебания (3.12), вообще говоря, не являются периодическими, т.е. нельзя указать такое время спустя которое они точно повторяются (отношение частот - чаще всего иррациональное число, а случаи их рационального отношения: будут исчезающе редки). Поэтому периодом биений мы называем период (3.14) повторения огибающей суммарного колебания, равный половине периода колебания с частотой

Безразмерный коэффициент связи \gamma между двумя системами может принимать значения Если из (3.31) определить нормальные частоты и то они будут выражаться через парциальные частоты и и коэффициент Эти четыре частоты будут располагаться на оси частот в последовательности, изображенной на рис. 7.6.

Рис.7.6. Спектральные составляющие

При слабой связи нормальные частоты близки к парциальным, а при сильной связи различие в частотах становится существенным. Это хорошо видно, если парциальные частоты совпадают Тогда (3.31) примет вид:

Отсюда

 

Мы ограничимся лишь обсуждением результатов.

На рис. 7.7 изображена АЧХ для первого осциллятора, к которому приложена сила. Обращает на себя внимание наличие двух резонансов, которые при малом затухании наблюдаются на нормальных частотах и . При изменении частоты от до амплитуда падает и достигает минимума на второй парциальной частоте при этом с уменьшением затухания амплитуда на этой частоте стремится к нулю. Это обстоятельство используют для подавления отклика системы на действие внешней силы. В радиотехнике, где используются связанные колебательные контуры, их применяют как фильтры и демпферы.

Рис.7.7. Спектральная характеристики связанных маятников

Два резонанса имеют место и для смещения второй массы. Если проанализировать отношение амплитуд в зависимости от частоты то оказывается, что это отношение вблизи частоты равно коэффициенту распределения амплитуд для первой моды, а вблизи частоты - коэффициенту распределения амплитуд для второй моды. Это используется для определения этих коэффициентов, поскольку при вынужденных колебаниях это сделать проще, чем при собственных.

Выводы

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Телекоммуникаций и информатики

Федеральное агентство связи.. государственное образовательное учреждение.. высшего профессионального образования поволжский государственный университет..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Колебательные системы с двумя степенями свободы

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

А.Г. Глущенко, Е.П.Глущенко
Введение в теорию колебаний. Конспект лекций. – Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2013. – 198 с.     Настоящее издание представляет собой учебное пособие к образовательному

Колебания в биологических объектах
Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов. Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой

Гармонические колебания
Гармоническое колебание —это колебание, при котором физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону

Аналитическое
Колебательный процесс описывается в виде периодической функции, например,

Метод фазовых траекторий
Метод описания колебаний путем построения траектории тражения системы в плоскости -

Траектория движения точки в плоскости называется фазовым портретом
Особенно просто выглядит фазовая траектория гармонического колебания, при котором координата и скорость описываются функциями 

Способы представления колебательных движений: Аналитический, табличный, графический, спектральный, векторные диаграммы, фазовый портрет
Гармонические колебания являются простейшей моделью колебательного движения достаточно часто встречающегося в действительности. Любое колебание может быть представлено как сумма гармонических ко

Сложение гармонических колебаний одного направления
Если колеблющееся система или тело участвует в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y. Она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотноше

Спектральное представление колебательных процессов
  Обычной и естественной системой отсчета для нас является время. Мы наблюдаем, как развивается, то или иное событие во времени. Для наблюдения изменения во времени мгновенных значени

Зачем, собственно, нужно считать спектры сигналов?
Во-первых, это позволяет по-новому взглянуть на сигнал, лучше понять его природу, найти характерные частоты сигнала (если их несколько, то по виду самого сигнала это может быть затруднительно). Нап

Анализ сигнала не включающий определения фазовых соотношений между синусоидальными составляющими называется спектральным анализом
У частотной области есть свои плюсы. Частотная область гораздо удобнее в плане измерений. Те, кто занимаются беспроводной связью, заинтересованы в определении внеполосного и паразитного излучения.

Непериодические сигналы
Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. Например, спектральное разложение идеального импульса (единичной мощности и нулевой

Гауссов импульс. Колоколообразный (гауссовский) импульс определяется выражением
Во временной области он изображен на рис. 14 а. Условно длительность такого импульса определяют по уровню е-1/ 2

Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум
Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире пол

Спектральный анализ
Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая с

Непрерывные спектры дают тела, находящиеся в твердом, жидком состоянии, а также сильно сжатые газы
Полосатые спектры в отличие от линейчатых спектров создаются не атомами, а молекулами, не связанными или слабо связанными друг с другом. Полосатые спектры имеют твердые тела.

Свободные колебания в системах с одной степенью свободы
Пружинный маятник (http://www.all-fizika.com/virtual/pryjin.php) Опишем движение небольшого бруска массой m, расположенного на гладкой горизонтальной поверхности и прикреп

Колебание жидкости в трубке
Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной  U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).

Свободные колебания в контуре
Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подклю

Плазменные колебания
В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов. Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтр

Фазовый портрет колебательной системы
В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение (t) и скорость меня

Положение равновесия в точке 0 на фазовой плоскости является особой точкой и называется особой точкой типа "центр"
Линейный осциллятор с затуханием. Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на характер движения системы. Наиболее простые закономерно

Нелинейные колебания
С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости

Затухающие механические колебания крутильного маятника
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн. Рассмотрим с

Период затухающих колебаний
. Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени,

Добротность
Пниях логарифмического декремента добротность равна (т

Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс
Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за  наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиа

Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденныминазываются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.

Установление колебаний
Мы уже отмечали, что если приложить к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени t=0, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено на рис. 2.7а. У

Колебания систем со многими степенями свободы
Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя,

Колебания струны
Представим себе, что мы возбудили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встреч

Тоны и обертоны
Струна, оттянутая строго посередине, будет совершать колебания, показанные на рис. 8.3. Через каждые пол периода вся струна оказывается по разные стороны от положения равновесия. При этом на концах

Колебания воздушного столба
В духовых музыкальных инструментах (различных трубах) источником звука является колеблющийся столб воздуха, в котором, как и в струне, возникают стоячие волны. Его колебания возбуждаются вдуванием

Колебания струны, закрепленной с двух концов
Рис.8.7.   В силу граничных условий, заданных закреплением концов струны, уравнение стоячей волны при выбо

Параметрические колебания. Качели
Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава как качели. Тренировкам на этом снаряде придает большое значение даже летчики и космонавты. Когда малыша, сидящего на качелях, раскачивае

Http://fizportal.ru/physics-book-47-1
http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0     Приложение 1. Основные характеристики звука Упругие волны в воздухе, имеющ

Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха
Определение громкости звука основано на психофизическом законе, установленном в 1846 году Э.-Г. Вебером, который заложил основы "психометрии", т.е. количественных измерений ощущений. Поск

Некоторые сведения о музыкальных инструментах
Деревянные деки музыкальных инструментов выполняют функции резонаторов, обеспечивая хорошие условия звучания. Частоты струнных инструментов не зависят от резонатора. Основная частота звука

Добротность различных колебательных систем
Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами), наиболее распространенных в природе и технике. Примерами таких осцилля

Резонаторы
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты в

Основные формулы механических и электромагнитных колебаний
  Пружинный маятник Колебательный контур Механические величины Электрические величины

Метод комплексных амплитуд
Если в формуле Эйлера (1.53): под понимать фазу гармонических колебаний

Вынужденные колебания с произвольной частотой
Будем искать решение уравнения (2.10) в комплексном виде: (2.26)

Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний
Пусть кронштейн, к которому привязан левый конец шнура, совершает гармонические колебания где

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги