Лекция 8. Колебания систем со многими степенями свободы.

Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя, степенями свободы, и в пределе, при для анализа колебаний в сплошных средах, т.е. волн.

Обратимся вначале к колебаниям трех одинаковых масс закрепленных на равных расстояниях на натянутом легком резиновом шнуре, как показано на рис. 3.13а. Любое колебание этой системы может быть представлено как суперпозиция трех нормальных колебаний с частотами и Опуская на время вопрос о величине частот, найдем конфигурацию этих мод. Примем во внимание, что квадрат частоты колебаний каждой массы в данной моде должен быть одинаков. Этого можно добиться в случае, когда отношения возвращающей силы к величине массы и ее смещению у всех грузов будут одинаковыми. Такие условия реализуются при смещении масс тремя способами (б, в и г на рис. 8.1). При отпускании грузов из положения (б) в системе будет происходить первое нормальное колебание на частоте ; из положения (в) - второе на частоте ; из положения (г) - третье на частоте Очевидно, что

Рис.8.1.

Конфигурация каждой из мод может быть описана с помощью двух коэффициентов распределения амплитуд. Забегая вперед, отметим, что для четырех масс таких коэффициентов должно быть три, и т.д.

Однако ситуация может быть упрощена, если обратить внимание, что расположение масс в позициях (б), (в) и (г) на рис. 8.1напоминает "синусоидальное" (пунктиром изображен фрагмент функции где - некоторый параметр, характеризующий период этой функции). Тогда конфигурация первой моды будет описана следующим образом: (3.44а)

 

Для второй моды: (3.44б)

 

Для третьей моды: (3.44в)

 

Роль безразмерных коэффициентов выполняет функция вычисленная в точках

Другими примерами связанных осцилляторов являются атомы в молекулах CO2, H2O и т. д. На рис. 8.2 изображены конфигурации мод и приведены значения частот нормальных колебаний молекул. Обратим внимание, что эти частоты имеют порядок величины с-1 и значительно превышают (на несколько порядков) частоты механических колебаний макроскопических систем. Резонансные колебания этих (и других) молекул можно возбудить при взаимодействии разноименно заряженных ионов, составляющих эти молекулы, с электрическим полем световой электромагнитной волны инфракрасного (ИК) диапазона, имеющей близкую частоту.

Рис.8.2.

В заключение отметим, что связь типа (3.55) между частотой и волновым числом называется дисперсионным соотношением. Это соотношение будет далее использовано при анализе распространения волн в периодических структурах.