рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Параметрические колебания. Качели

Параметрические колебания. Качели - раздел Связь, Телекоммуникаций и информатики Всем Хорошо Знакома И Многими Любима Такая Старинная Забава Как Качели. Трени...

Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава как качели. Тренировкам на этом снаряде придает большое значение даже летчики и космонавты. Когда малыша, сидящего на качелях, раскачивает кто-то из старших, стоящий рядом, то такой механизм разгона и поддержания колебаний нами подробно изучен − это вынужденные колебания под действием внешней периодической силы. Но на качелях можно раскачиваться самостоятельно, сидя или стоя на них. Процедура раскачивания в этом случае заключается, в том, что человек, стоящий на качелях, периодически, в нужные моменты приседает и встает. При этом периодически изменяются параметры самой колебательной системы (момент инерции, расстояние от точки подвеса до центра масс), поэтому такие незатухающие колебания называются параметрическими. Простейшим уравнением, описывающим такие эти колебания, может быть знакомое нам уравнение гармонических колебаний, в котором параметр ω2 является периодической функцией времени

Зависимость параметра от времени может быть, например, представлена в виде 

где постоянная ωo2 − собственная частота колебаний при неизменных средних значениях параметров системы (например, частота свободных колебаний качелей при неподвижно стоящем на них человеке), а второе слагаемое описывает периодическое изменение параметров системы.
Не смотря на внешнюю простоту этого уравнения, его анализ и решение очень  сложны, поэтому мы рассмотрим параметрические колебания качелей с энергетической точки зрения.
Когда человек приседает и встает он совершает работу, поэтому в принципе, может увеличивать амплитуду колебаний и компенсировать неизбежные потери механической энергии на трение и сопротивление воздуха. Подчеркнем, что в рассматриваемом случае источник энергии находится «внутри» самой колебательной энергии, причем этот источник должен расходовать энергию «правильно», включаясь и выключаясь в нужные моменты времени. Обратим также внимание, на то обстоятельство, что рассматриваемая система не является замкнутой − раскачиваться на незакрепленных качелях, по меньшей мере, затруднительно. Наконец, движение человека относительно качелей должно быть периодическим, то есть время от времени, он должен возвращаться в исходное положение (сколько раз присел, столько раз встал).
Используем эти общие соображения для описания раскачивания качелей. Предельно упростим ситуацию − будем считать человека материальной точкой, расстояние от которой до оси вращения может изменяться в некоторых небольших пределах «сознательно», то есть в нужные моменты времени. Для того, чтобы максимально увеличить механическую энергию колебаний, человек должен вставать, когда для этого требуется приложить максимальное усилие, так как при этом будет совершена максимальная работа. Очевидно, что это условие достигается, когда качели проходят нижнюю точку. Если человек будет приседать в другом месте, то потери механической энергии при этом будут меньше, чем работа, совершенная при вставании в нижней точке. Таким образом, имеется возможность поддерживать незатухающие колебания.
Итак, пусть начальный угол отклонения качелей равен  φo и при этом максимальном отклонении центр масс находится на максимальном удалении l от точки подвеса O (рис. 9.1).

 

рис. 9.1

Когда качели опустятся под действием силы тяжести в нижнее положение, рассматриваемая материальная точка приобретет скорость  vo, которую можно найти на основании закона сохранения энергии

из которого следует

Далее пусть в момент прохождения нижней точки центр масс очень быстро поднимается на малую высоту  h (рис. 647 б), при этом его скорость возрастет до некоторой величины v1. Проще всего найти эту скорость на основании закона сохранения момента импульса

из этого уравнения находим

на последнем шаге мы использовали приближенную формулу, считая, что высота подъема h значительно меньше длины качелей l.
Этот же результат можно получить и на основании рассмотрения  энергетического баланса. Так в нижней точке сила давления человека на качели равна (эта формула непосредственно следует из уравнения второго закона Ньютона)

Чтобы приподнять тело, к нему следует приложить такую же по модулю  силу, направленную вверх. Следовательно, при этом необходимо совершить работу δA ≈ Fh (это выражение является приближенным, так как, строго говоря, эта силы незначительно должна изменять в при вставании). Эта работа идет на увеличение кинетической и потенциальной энергии тела

Это уравнение позволяет найти выражение для скорости 

которое совпадает с выражением (6), полученным на основании закона сохранения импульса. Отличия в малых величинах порядка (h/l)2 обусловлены приближенным выражением для совершенной работы. Можете быть уверены, что при точном расчете работы (с учетом изменения силы при изменении расстояния до точки подвеса) эти два подхода дают полностью совпадающие результаты, совпадающие с формулой (6).
Интересен вопрос − а какая горизонтальная сила, действующая на тело,  увеличивает его скорость? Отвечаем − чтобы вставать строго вертикально человек должен действовать с некоторой горизонтальной силой на качели, их ответная реакция и приводит к появлению ускорения тела в горизонтальном направлении2.
Теперь с помощью закона сохранения энергии 

можно найти максимальный угол отклонения качелей φ1 в противоположном направлении (рис. 647 в), который удовлетворяет условию

Ясно, что этот угол больше начального. Далее в верхней точке человек  должен быстро присесть, что бы опять подняться в нижней точке. Если человек будет приседать в верхней точке, где скорость качелей равна нулю, то на основании закона сохранения импульса (также как и на основании энергетического баланса) потерь энергии колебаний не произойдет! Если же приседать в другой точке траектории, то скорость колебаний уменьшится, что и является причиной потерь механической энергии. Таким образом, за половину периода колебаний угол отклонения качелей увеличился, и при этом тело вернулось в исходное нижнее положение относительно качелей. Оценим также изменение высоты подъема за этот промежуток времени

Легко показать, что соответствующее увеличение потенциальной энергии  равно работе, совершенной при вставании. В проведенном расчете мы пренебрегли силами трения в оси вращения качелей и сопротивлением воздуха. Понятно, что в установившемся режиме, рассмотренный механизм «подкачки» энергии (совершение работы при вставании) восполняет потери механической энергии.
Можно подвести некоторые итоги. Мы показали, что периодическое  изменение параметров системы может приводить к возникновению и поддержанию незатухающих параметрических колебаний в колебательных системах с трением и другими силами сопротивления. При этом потери механической энергии компенсируются работой сил, изменяющих параметры системы. На примере рассмотренного движения качелей видно, что их максимальное раскачивание достигается в том случае, когда частота изменения параметра в два раза превышает собственную частоту колебаний системы − за один период нужно дважды приседать и дважды вставать.
Это правило является общим и для других систем, в которых совершаются  параметрические колебания. Такое возрастание амплитуды колебаний называется параметрическим резонансом. Главное его отличие от резонанса при вынужденных колебаниях заключается в том, что он наступает в том случае, когда частота изменения параметров системы в два раза превышает собственную частоту колебаний.
В отличие от вынужденных колебаний, параметрические не являются самовозбуждающимися − необходимо некоторое начальное отклонение системы от положения равновесия, что начался процесс параметрических колебаний. Посмотрите на проведенные выкладки для описания колебаний качелей, при отсутствии начального угла отклонения − появление колебаний невозможно.
В заключение данного раздела подчеркнем, что параметрические колебания  возможны и других колебательных системах, электрических, оптических и т.д.

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора, это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером, механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике, примером параметрического осциллятора, может служить, используемый во многих областях, параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода, с помощью специальной схемы называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике, волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонансэто увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса , коэффициент упругости и коэффициент затухания . Если эти коэффициенты зависят от времени, и , то уравнение движения имеет вид

Сделаем замену переменной времени , где , что приводит уравнение (1) к виду

Сделаем еще одну замену :

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

которое получилось бы из уравнения (1) при .

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты , аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

1. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид

Где — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты , постоянная — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что . Вместо решения уравнения (6) поставим более простой вопрос: при каких значения параметра , происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

2. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой . В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов , происходит в случае, когда

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

где , и . В случае, когда и ограничиваясь первым порядком разложения по , получим, что

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний и её удвоенного значения , — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

Параметрический резонанс имеет место, когда

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника , а ширина резонанса равна . Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых , а лишь при тех . Т.о., при наличии трения

,

что позволяет надлежащим выбором параметров ,, и , в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Телекоммуникаций и информатики

Федеральное агентство связи.. государственное образовательное учреждение.. высшего профессионального образования поволжский государственный университет..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Параметрические колебания. Качели

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

А.Г. Глущенко, Е.П.Глущенко
Введение в теорию колебаний. Конспект лекций. – Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2013. – 198 с.     Настоящее издание представляет собой учебное пособие к образовательному

Колебания в биологических объектах
Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов. Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой

Гармонические колебания
Гармоническое колебание —это колебание, при котором физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону

Аналитическое
Колебательный процесс описывается в виде периодической функции, например,

Метод фазовых траекторий
Метод описания колебаний путем построения траектории тражения системы в плоскости -

Траектория движения точки в плоскости называется фазовым портретом
Особенно просто выглядит фазовая траектория гармонического колебания, при котором координата и скорость описываются функциями 

Способы представления колебательных движений: Аналитический, табличный, графический, спектральный, векторные диаграммы, фазовый портрет
Гармонические колебания являются простейшей моделью колебательного движения достаточно часто встречающегося в действительности. Любое колебание может быть представлено как сумма гармонических ко

Сложение гармонических колебаний одного направления
Если колеблющееся система или тело участвует в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y. Она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотноше

Спектральное представление колебательных процессов
  Обычной и естественной системой отсчета для нас является время. Мы наблюдаем, как развивается, то или иное событие во времени. Для наблюдения изменения во времени мгновенных значени

Зачем, собственно, нужно считать спектры сигналов?
Во-первых, это позволяет по-новому взглянуть на сигнал, лучше понять его природу, найти характерные частоты сигнала (если их несколько, то по виду самого сигнала это может быть затруднительно). Нап

Анализ сигнала не включающий определения фазовых соотношений между синусоидальными составляющими называется спектральным анализом
У частотной области есть свои плюсы. Частотная область гораздо удобнее в плане измерений. Те, кто занимаются беспроводной связью, заинтересованы в определении внеполосного и паразитного излучения.

Непериодические сигналы
Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. Например, спектральное разложение идеального импульса (единичной мощности и нулевой

Гауссов импульс. Колоколообразный (гауссовский) импульс определяется выражением
Во временной области он изображен на рис. 14 а. Условно длительность такого импульса определяют по уровню е-1/ 2

Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум
Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире пол

Спектральный анализ
Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая с

Непрерывные спектры дают тела, находящиеся в твердом, жидком состоянии, а также сильно сжатые газы
Полосатые спектры в отличие от линейчатых спектров создаются не атомами, а молекулами, не связанными или слабо связанными друг с другом. Полосатые спектры имеют твердые тела.

Свободные колебания в системах с одной степенью свободы
Пружинный маятник (http://www.all-fizika.com/virtual/pryjin.php) Опишем движение небольшого бруска массой m, расположенного на гладкой горизонтальной поверхности и прикреп

Колебание жидкости в трубке
Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной  U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).

Свободные колебания в контуре
Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подклю

Плазменные колебания
В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов. Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтр

Фазовый портрет колебательной системы
В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение (t) и скорость меня

Положение равновесия в точке 0 на фазовой плоскости является особой точкой и называется особой точкой типа "центр"
Линейный осциллятор с затуханием. Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на характер движения системы. Наиболее простые закономерно

Нелинейные колебания
С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости

Затухающие механические колебания крутильного маятника
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн. Рассмотрим с

Период затухающих колебаний
. Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени,

Добротность
Пниях логарифмического декремента добротность равна (т

Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс
Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за  наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиа

Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденныминазываются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.

Установление колебаний
Мы уже отмечали, что если приложить к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени t=0, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено на рис. 2.7а. У

Колебательные системы с двумя степенями свободы
  Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:

Колебания систем со многими степенями свободы
Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя,

Колебания струны
Представим себе, что мы возбудили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встреч

Тоны и обертоны
Струна, оттянутая строго посередине, будет совершать колебания, показанные на рис. 8.3. Через каждые пол периода вся струна оказывается по разные стороны от положения равновесия. При этом на концах

Колебания воздушного столба
В духовых музыкальных инструментах (различных трубах) источником звука является колеблющийся столб воздуха, в котором, как и в струне, возникают стоячие волны. Его колебания возбуждаются вдуванием

Колебания струны, закрепленной с двух концов
Рис.8.7.   В силу граничных условий, заданных закреплением концов струны, уравнение стоячей волны при выбо

Http://fizportal.ru/physics-book-47-1
http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0     Приложение 1. Основные характеристики звука Упругие волны в воздухе, имеющ

Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха
Определение громкости звука основано на психофизическом законе, установленном в 1846 году Э.-Г. Вебером, который заложил основы "психометрии", т.е. количественных измерений ощущений. Поск

Некоторые сведения о музыкальных инструментах
Деревянные деки музыкальных инструментов выполняют функции резонаторов, обеспечивая хорошие условия звучания. Частоты струнных инструментов не зависят от резонатора. Основная частота звука

Добротность различных колебательных систем
Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами), наиболее распространенных в природе и технике. Примерами таких осцилля

Резонаторы
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты в

Основные формулы механических и электромагнитных колебаний
  Пружинный маятник Колебательный контур Механические величины Электрические величины

Метод комплексных амплитуд
Если в формуле Эйлера (1.53): под понимать фазу гармонических колебаний

Вынужденные колебания с произвольной частотой
Будем искать решение уравнения (2.10) в комплексном виде: (2.26)

Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний
Пусть кронштейн, к которому привязан левый конец шнура, совершает гармонические колебания где

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги