Лекция 9. Параметрические колебания. Качели.

Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава как качели. Тренировкам на этом снаряде придает большое значение даже летчики и космонавты. Когда малыша, сидящего на качелях, раскачивает кто-то из старших, стоящий рядом, то такой механизм разгона и поддержания колебаний нами подробно изучен − это вынужденные колебания под действием внешней периодической силы. Но на качелях можно раскачиваться самостоятельно, сидя или стоя на них. Процедура раскачивания в этом случае заключается, в том, что человек, стоящий на качелях, периодически, в нужные моменты приседает и встает. При этом периодически изменяются параметры самой колебательной системы (момент инерции, расстояние от точки подвеса до центра масс), поэтому такие незатухающие колебания называются параметрическими. Простейшим уравнением, описывающим такие эти колебания, может быть знакомое нам уравнение гармонических колебаний, в котором параметр ω2 является периодической функцией времени

Зависимость параметра от времени может быть, например, представлена в виде 

где постоянная ωo2 − собственная частота колебаний при неизменных средних значениях параметров системы (например, частота свободных колебаний качелей при неподвижно стоящем на них человеке), а второе слагаемое описывает периодическое изменение параметров системы.
Не смотря на внешнюю простоту этого уравнения, его анализ и решение очень  сложны, поэтому мы рассмотрим параметрические колебания качелей с энергетической точки зрения.
Когда человек приседает и встает он совершает работу, поэтому в принципе, может увеличивать амплитуду колебаний и компенсировать неизбежные потери механической энергии на трение и сопротивление воздуха. Подчеркнем, что в рассматриваемом случае источник энергии находится «внутри» самой колебательной энергии, причем этот источник должен расходовать энергию «правильно», включаясь и выключаясь в нужные моменты времени. Обратим также внимание, на то обстоятельство, что рассматриваемая система не является замкнутой − раскачиваться на незакрепленных качелях, по меньшей мере, затруднительно. Наконец, движение человека относительно качелей должно быть периодическим, то есть время от времени, он должен возвращаться в исходное положение (сколько раз присел, столько раз встал).
Используем эти общие соображения для описания раскачивания качелей. Предельно упростим ситуацию − будем считать человека материальной точкой, расстояние от которой до оси вращения может изменяться в некоторых небольших пределах «сознательно», то есть в нужные моменты времени. Для того, чтобы максимально увеличить механическую энергию колебаний, человек должен вставать, когда для этого требуется приложить максимальное усилие, так как при этом будет совершена максимальная работа. Очевидно, что это условие достигается, когда качели проходят нижнюю точку. Если человек будет приседать в другом месте, то потери механической энергии при этом будут меньше, чем работа, совершенная при вставании в нижней точке. Таким образом, имеется возможность поддерживать незатухающие колебания.
Итак, пусть начальный угол отклонения качелей равен  φo и при этом максимальном отклонении центр масс находится на максимальном удалении l от точки подвеса O (рис. 9.1).

 

рис. 9.1

Когда качели опустятся под действием силы тяжести в нижнее положение, рассматриваемая материальная точка приобретет скорость  vo, которую можно найти на основании закона сохранения энергии

из которого следует

Далее пусть в момент прохождения нижней точки центр масс очень быстро поднимается на малую высоту  h (рис. 647 б), при этом его скорость возрастет до некоторой величины v1. Проще всего найти эту скорость на основании закона сохранения момента импульса

из этого уравнения находим

на последнем шаге мы использовали приближенную формулу, считая, что высота подъема h значительно меньше длины качелей l.
Этот же результат можно получить и на основании рассмотрения  энергетического баланса. Так в нижней точке сила давления человека на качели равна (эта формула непосредственно следует из уравнения второго закона Ньютона)

Чтобы приподнять тело, к нему следует приложить такую же по модулю  силу, направленную вверх. Следовательно, при этом необходимо совершить работу δA ≈ Fh (это выражение является приближенным, так как, строго говоря, эта силы незначительно должна изменять в при вставании). Эта работа идет на увеличение кинетической и потенциальной энергии тела

Это уравнение позволяет найти выражение для скорости 

которое совпадает с выражением (6), полученным на основании закона сохранения импульса. Отличия в малых величинах порядка (h/l)2 обусловлены приближенным выражением для совершенной работы. Можете быть уверены, что при точном расчете работы (с учетом изменения силы при изменении расстояния до точки подвеса) эти два подхода дают полностью совпадающие результаты, совпадающие с формулой (6).
Интересен вопрос − а какая горизонтальная сила, действующая на тело,  увеличивает его скорость? Отвечаем − чтобы вставать строго вертикально человек должен действовать с некоторой горизонтальной силой на качели, их ответная реакция и приводит к появлению ускорения тела в горизонтальном направлении2.
Теперь с помощью закона сохранения энергии 

можно найти максимальный угол отклонения качелей φ1 в противоположном направлении (рис. 647 в), который удовлетворяет условию

Ясно, что этот угол больше начального. Далее в верхней точке человек  должен быстро присесть, что бы опять подняться в нижней точке. Если человек будет приседать в верхней точке, где скорость качелей равна нулю, то на основании закона сохранения импульса (также как и на основании энергетического баланса) потерь энергии колебаний не произойдет! Если же приседать в другой точке траектории, то скорость колебаний уменьшится, что и является причиной потерь механической энергии. Таким образом, за половину периода колебаний угол отклонения качелей увеличился, и при этом тело вернулось в исходное нижнее положение относительно качелей. Оценим также изменение высоты подъема за этот промежуток времени

Легко показать, что соответствующее увеличение потенциальной энергии  равно работе, совершенной при вставании. В проведенном расчете мы пренебрегли силами трения в оси вращения качелей и сопротивлением воздуха. Понятно, что в установившемся режиме, рассмотренный механизм «подкачки» энергии (совершение работы при вставании) восполняет потери механической энергии.
Можно подвести некоторые итоги. Мы показали, что периодическое  изменение параметров системы может приводить к возникновению и поддержанию незатухающих параметрических колебаний в колебательных системах с трением и другими силами сопротивления. При этом потери механической энергии компенсируются работой сил, изменяющих параметры системы. На примере рассмотренного движения качелей видно, что их максимальное раскачивание достигается в том случае, когда частота изменения параметра в два раза превышает собственную частоту колебаний системы − за один период нужно дважды приседать и дважды вставать.
Это правило является общим и для других систем, в которых совершаются  параметрические колебания. Такое возрастание амплитуды колебаний называется параметрическим резонансом. Главное его отличие от резонанса при вынужденных колебаниях заключается в том, что он наступает в том случае, когда частота изменения параметров системы в два раза превышает собственную частоту колебаний.
В отличие от вынужденных колебаний, параметрические не являются самовозбуждающимися − необходимо некоторое начальное отклонение системы от положения равновесия, что начался процесс параметрических колебаний. Посмотрите на проведенные выкладки для описания колебаний качелей, при отсутствии начального угла отклонения − появление колебаний невозможно.
В заключение данного раздела подчеркнем, что параметрические колебания  возможны и других колебательных системах, электрических, оптических и т.д.

Параметрический осциллятор — осциллятор, параметры которого могут изменяться в определённой области.

Параметрический осциллятор принадлежит к классу незамкнутых колебательных систем, в которых внешнее воздействие сводится к изменению во времени её параметров. Изменения параметров, например собственной частоты колебаний ω или коэффициента затухания β приводит к изменению динамики всей системы.

Всем известный пример параметрического осциллятора, это ребенок на качелях, где периодически изменяющаяся высота центра массы означает периодическое изменение момента инерции, что приводит к увеличению амплитуды колебаний качелей [3, с. 157]. Другим примером, механического параметрического осциллятора служит физический маятник, точка подвеса которого совершает заданное периодическое движение в вертикальном направлении или математический маятник, длина нити которого может периодически изменяться.

Широко используемым на практике, примером параметрического осциллятора, может служить, используемый во многих областях, параметрический генератор. Периодическое изменение ёмкости диода, с помощью специальной схемы называемой «насосом», приводит к классическим колебаниям варакторного параметрического генератора. Параметрические генераторы были разработаны в качестве малошумящих усилителей, которые особенно эффективны в радио- и микроволновом диапазоне частот. Поскольку в них периодически изменяются не активные (омические), а реактивные сопротивления, тепловые шумы в таких генераторах минимальны. В СВЧ-электронике, волновод / ИАГ на основе параметрического осциллятора действует таким же образом. Для того, чтобы в системе возбудить параметрические колебания, конструкторы периодически изменяют параметр системы. Ещё одним классом приборов, часто использующих метод параметрических колебаний, являются преобразователи частоты, в частности, преобразователи от аудио к радиочастотам. Например, оптический параметрический генератор преобразует входную волну лазера в две выходные волны более низкой частоты (ωs, ωi). С параметрическим осциллятором тесно связано понятие параметрического резонанса.

Параметрический резонансэто увеличение амплитуды колебаний в результате параметрического возбуждения. Параметрическое возбуждение отличается от классического резонанса, поскольку создаётся в результате временного изменения параметров системы и связано с её стабильностью и устойчивостью.

Параметрами одномерного осциллятора, движущегося с трением, являются его масса , коэффициент упругости и коэффициент затухания . Если эти коэффициенты зависят от времени, и , то уравнение движения имеет вид

Сделаем замену переменной времени , где , что приводит уравнение (1) к виду

Сделаем еще одну замену :

Это позволит избавиться от члена, связанного с затуханием:

Поэтому фактически, без всякого ограничения общности, вместо уравнения (1) достаточно рассмотреть уравнение движения вида

которое получилось бы из уравнения (1) при .

Интересно, что в отличие от случая постоянной частоты , аналитическое решение уравнения (5) в общем виде неизвестно. В частном случае периодической зависимости уравнение (5) является уравнением Хилла, а в случае гармонической зависимости — частным случаем уравнения Матье. Наиболее хорошо уравнение (5) изучено в случае, когда частота колебаний гармонически изменяется относительно некоторого постоянного значения.

1. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид

Где — частота собственных гармонических колебаний, амплитуда гармонических вариаций частоты , постоянная — небольшая вариация частоты. Надлежащим изменением начала отсчета времени постоянную h можно выбрать положительной, поэтому, не ограничивая общности, будем считать, что . Вместо решения уравнения (6) поставим более простой вопрос: при каких значения параметра , происходит резкое возрастание амплитуды колебаний, то есть решение неограниченно возрастает? Можно показать [1], что это происходит в том случае, когда

2. Рассмотрим случай, когда , то есть уравнение (5) имеет вид

Иными словами, гармоническое изменение свободных колебаний происходит с частотой . В этом случае параметрический резонанс, с точностью до членов , происходит в случае, когда

В частности, укажем условия параметрического резонанса для малых колебаний математического маятника с колеблющейся в вертикальном положении точкой подвеса, для которого уравнения колебаний имеют вид

где , и . В случае, когда и ограничиваясь первым порядком разложения по , получим, что

Тот факт, что параметрический резонанс происходит в окрестности частоты свободных колебаний и её удвоенного значения , — не случаен. Можно показать (см. напр. [2]), что в случае уравнения

Параметрический резонанс имеет место, когда

Главный резонанс происходит при удвоенной частоте собственных колебаний гармонического маятника , а ширина резонанса равна . Важно также, что при наличии трения (см. ур-е (2)), в уравнении

Имеет место явление параметрического резонанса не при любых , а лишь при тех . Т.о., при наличии трения

,

что позволяет надлежащим выбором параметров ,, и , в зависимости от практической необходимости, усилить или ослабить явление параметрического резонанса.