Вынужденные колебания с произвольной частотой. - раздел Связь, Телекоммуникаций и информатики Будем Искать Решение Уравнения (2.10) В Комплексном Виде:
...
Будем искать решение уравнения (2.10) в комплексном виде:
(2.26)
Вынуждающую силу в правой части (2.10) также запишем в комплексной форме
(2.27)
где - действительное число, поскольку для простоты мы положили, что начальная фаза в выражении для силы (2.5) равна нулю.
Тогда уравнение (2.10) можно записать в виде:
(2.28)
Комплексную амплитуду легко находим подстановкой (2.26) в (2.28):
(2.29)
Отсюда получаем:
(2.30)
Из (2.30) нетрудно найти амплитуду колебаний
(2.31)
и фазу
(2.32)
полностью определяющие вынужденные колебания (2.25).
Зависимость амплитуды от частоты задаваемая формулой (2.31), называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость описываемая формулой (2.32), называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). На рис. 2.3 изображена АЧХ, которая отображает нарастание амплитуды при приближении к Это явление получило название резонанса смещений. Интересно, что максимальное значение амплитуды, в раз превосходящее статическое смещение достигается на частоте
(2.33)
которая несколько меньше как собственной частоты так и частоты затухающих колебаний Для практических целей для частот лежащих вблизи частоты формула (2.31) может быть значительно упрощена. Так, можно положить
(2.34)
Рис. 2.3.
С учетом приближений (2.34) формула (2.31) примет вид:
(2.35)
В физике безразмерную функцию
(2.36)
называют Лоренцевой, а график этой функции называют Лоренцевым контуром. Ширину этого контура, определяющую остроту резонанса, находят из условия убывания вдвое энергии колебательной системы, пропорциональной квадрату амплитуды в (2.35), что эквивалентно приближенному соотношению
(2.37)
которое поясняется рисунком 2.4. При этом условии т.е. Ширина Лоренцева контура характеризует полосу пропускания колебательной системы, т.е. такую область частот внешней силы, для которых система эффективно откликается на гармоническое внешнее воздействие. Легко видеть, что добротность системы равна
(2.38)
т.е. обратно пропорциональна полосе пропускания.
Рис. 2.4.
С уменьшением коэффициента АЧХ меняет свою форму, как это изображено пунктиром на рис. 2.3 для Полоса пропускания уменьшается, добротность возрастает, и резонанс становится более острым.
Фазо-частотная характеристика для двух различных коэффициентов затухания изображена на рис. 2.5. Физическое содержание зависимости мы подробно обсудили для трех различных режимов вынужденных колебаний. Отметим лишь, что с уменьшением затухания кривая становится более "чувствительной" к изменению частоты вблизи резонанса.
Рис. 2.5.
Наряду с резонансом смещений, можно говорить о резонансе скоростей и резонансе ускорений
Скорость колеблющейся массы равна:
(2.39)
а ее ускорение:
(2.40)
т.е. амплитудно-частотная характеристика для скорости получается умножением АЧХ (2.31) на а для ускорения - на :
На рис. 2.6 изображены частотные зависимости амплитуд скорости и ускорения
Рис. 2.6.
Характерно, что резонанс скорости происходит на частоте а резонанс ускорения - при Отметим, что все резонансные частоты связаны между собой:
(2.41)
Отметим также, что по причинам, рассмотренным ранее, в области низких частот малы как ускорение, так и скорость. В области высоких частот ускорение конечно и обеспечивается лишь внешней силой. Однако скорость по-прежнему незначительна, поскольку тело не успевает разогнаться.
Не представляет труда нарисовать самостоятельно фазо-частотные характеристики для скорости и для ускорения, пользуясь формулами (2.39) и (2.40), поскольку они получаются простым сдвигом ФЧХ для смещения (2.32), изображенной на рис. 2.5, вверх соответственно на или на
Федеральное агентство связи... Государственное образовательное учреждение... высшего профессионального образования Поволжский государственный университет...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ:
Вынужденные колебания с произвольной частотой.
Что будем делать с полученным материалом:
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
А.Г. Глущенко, Е.П.Глущенко
Введение в теорию колебаний. Конспект лекций. – Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2013. – 198 с.
Настоящее издание представляет собой учебное пособие к образовательному
Колебания в биологических объектах
Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов.
Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой
Гармонические колебания.
Гармоническое колебание —это колебание, при котором физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону
Аналитическое.
Колебательный процесс описывается в виде периодической функции, например,
Метод фазовых траекторий.
Метод описания колебаний путем построения траектории тражения системы в плоскости -
Сложение гармонических колебаний одного направления
Если колеблющееся система или тело участвует в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические
Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y. Она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотноше
Зачем, собственно, нужно считать спектры сигналов?
Во-первых, это позволяет по-новому взглянуть на сигнал, лучше понять его природу, найти характерные частоты сигнала (если их несколько, то по виду самого сигнала это может быть затруднительно). Нап
Непериодические сигналы.
Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. Например, спектральное разложение идеального импульса (единичной мощности и нулевой
Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум
Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире пол
Спектральный анализ
Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая с
Колебание жидкости в трубке.
Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).
Свободные колебания в контуре
Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подклю
Плазменные колебания.
В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов.
Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтр
Нелинейные колебания
С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости
Затухающие механические колебания крутильного маятника
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн.
Рассмотрим с
Период затухающих колебаний
.
Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответствующих моментам времени,
Добротность
Пниях логарифмического декремента добротность равна
(т
Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс.
Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиа
Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденныминазываются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.
Установление колебаний.
Мы уже отмечали, что если приложить к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени t=0, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено на рис. 2.7а. У
Лекция 8 Колебательные системы с двумя степенями свободы
Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:
Лекция 8. Колебания систем со многими степенями свободы.
Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя,
Колебания струны
Представим себе, что мы возбудили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встреч
Тоны и обертоны
Струна, оттянутая строго посередине, будет совершать колебания, показанные на рис. 8.3. Через каждые пол периода вся струна оказывается по разные стороны от положения равновесия. При этом на концах
Колебания воздушного столба
В духовых музыкальных инструментах (различных трубах) источником звука является колеблющийся столб воздуха, в котором, как и в струне, возникают стоячие волны. Его колебания возбуждаются вдуванием
Лекция 9. Параметрические колебания. Качели.
Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава как качели. Тренировкам на этом снаряде придает большое значение даже летчики и космонавты. Когда малыша, сидящего на качелях, раскачивае
Http://fizportal.ru/physics-book-47-1
http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0
Приложение 1. Основные характеристики звука
Упругие волны в воздухе, имеющ
Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха.
Определение громкости звука основано на психофизическом законе, установленном в 1846 году Э.-Г. Вебером, который заложил основы "психометрии", т.е. количественных измерений ощущений. Поск
Некоторые сведения о музыкальных инструментах.
Деревянные деки музыкальных инструментов выполняют функции резонаторов, обеспечивая хорошие условия звучания. Частоты струнных инструментов не зависят от резонатора. Основная частота звука
Добротность различных колебательных систем
Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами), наиболее распространенных в природе и технике. Примерами таких осцилля
Резонаторы
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты в
Новости и инфо для студентов