Вынужденные колебания с произвольной частотой.

Будем искать решение уравнения (2.10) в комплексном виде:

(2.26)

Вынуждающую силу в правой части (2.10) также запишем в комплексной форме

(2.27)

 

где - действительное число, поскольку для простоты мы положили, что начальная фаза в выражении для силы (2.5) равна нулю.

Тогда уравнение (2.10) можно записать в виде:

(2.28)

 

Комплексную амплитуду легко находим подстановкой (2.26) в (2.28):

(2.29)

 

Отсюда получаем:

(2.30)

 

Из (2.30) нетрудно найти амплитуду колебаний

(2.31)

и фазу

(2.32)

полностью определяющие вынужденные колебания (2.25).

Зависимость амплитуды от частоты задаваемая формулой (2.31), называется амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), а зависимость описываемая формулой (2.32), называется фазо-частотной характеристикой (ФЧХ). На рис. 2.3 изображена АЧХ, которая отображает нарастание амплитуды при приближении к Это явление получило название резонанса смещений. Интересно, что максимальное значение амплитуды, в раз превосходящее статическое смещение достигается на частоте

(2.33)

которая несколько меньше как собственной частоты так и частоты затухающих колебаний Для практических целей для частот лежащих вблизи частоты формула (2.31) может быть значительно упрощена. Так, можно положить

	(2.34)

 

Рис. 2.3.

С учетом приближений (2.34) формула (2.31) примет вид:

(2.35)

В физике безразмерную функцию

(2.36)

называют Лоренцевой, а график этой функции называют Лоренцевым контуром. Ширину этого контура, определяющую остроту резонанса, находят из условия убывания вдвое энергии колебательной системы, пропорциональной квадрату амплитуды в (2.35), что эквивалентно приближенному соотношению

(2.37)

которое поясняется рисунком 2.4. При этом условии т.е. Ширина Лоренцева контура характеризует полосу пропускания колебательной системы, т.е. такую область частот внешней силы, для которых система эффективно откликается на гармоническое внешнее воздействие. Легко видеть, что добротность системы равна

(2.38)

т.е. обратно пропорциональна полосе пропускания.

Рис. 2.4.

С уменьшением коэффициента АЧХ меняет свою форму, как это изображено пунктиром на рис. 2.3 для Полоса пропускания уменьшается, добротность возрастает, и резонанс становится более острым.

Фазо-частотная характеристика для двух различных коэффициентов затухания изображена на рис. 2.5. Физическое содержание зависимости мы подробно обсудили для трех различных режимов вынужденных колебаний. Отметим лишь, что с уменьшением затухания кривая становится более "чувствительной" к изменению частоты вблизи резонанса.

Рис. 2.5.

Наряду с резонансом смещений, можно говорить о резонансе скоростей и резонансе ускорений

Скорость колеблющейся массы равна:

(2.39)

а ее ускорение:

(2.40)

т.е. амплитудно-частотная характеристика для скорости получается умножением АЧХ (2.31) на а для ускорения - на :

 

 

На рис. 2.6 изображены частотные зависимости амплитуд скорости и ускорения

Рис. 2.6.

Характерно, что резонанс скорости происходит на частоте а резонанс ускорения - при Отметим, что все резонансные частоты связаны между собой:

(2.41)

 

Отметим также, что по причинам, рассмотренным ранее, в области низких частот малы как ускорение, так и скорость. В области высоких частот ускорение конечно и обеспечивается лишь внешней силой. Однако скорость по-прежнему незначительна, поскольку тело не успевает разогнаться.

Не представляет труда нарисовать самостоятельно фазо-частотные характеристики для скорости и для ускорения, пользуясь формулами (2.39) и (2.40), поскольку они получаются простым сдвигом ФЧХ для смещения (2.32), изображенной на рис. 2.5, вверх соответственно на или на

 

Приложение 7