рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний

Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний - раздел Связь, Телекоммуникаций и информатики Пусть Кронштейн, К Которому Привязан Левый Конец Шнура, Совершает Гармоническ...

Пусть кронштейн, к которому привязан левый конец шнура, совершает гармонические колебания где - очень малая амплитуда. Поэтому левый конец шнура можно считать закрепленным. По шнуру побежит гармоническая волна (рис. 4.13), которая после отражения от правого закрепленного конца приобретет сдвиг фазы, равный Добежав до левого конца, она еще раз отразится, а сдвиг фазы станет равным

Рис. 4.13.

Двукратно отраженная волна наложится на постоянно бегущую вправо гармоническую волну. Если сдвиг фазы колебаний у этих волн будет кратным величине то результатом наложения будет волна, амплитуда которой превышает амплитуду исходной бегущей волны. Таким образом, бегущая волна усилится. Если бы не было потерь энергии, то нарастание амплитуды при многократном отражении было бы неограниченным. Однако потери, как мы не раз видели, также увеличатся с ростом амплитуды. Поэтому колебания установятся: в систему будет закачано некоторое количество энергии, а дальнейший приток ее будет равен диссипации.

Определим частоту внешнего воздействия с которой следует двигать левый кронштейн, чтобы обеспечить максимальное усиление волны. Поскольку бегущая гармоническая волна может рассматриваться как набор следующих друг за другом со скоростью импульсов разной полярности, то мы проследим за усилением любого из них (например, заштрихованного на рис. 4.13). Время движения импульса (для определенности точки А в его начале) по шнуру туда и обратно равно Учтем далее, что после двух отражений этот импульс два раза обратится. Для его усиления необходимо, чтобы в момент левый конец шнура проходил положение равновесия и двигался при этом вверх:

(4.37)

Поэтому частота должна удовлетворять условию

(4.38)

где

Отсюда

(4.39)

 

Конфигурацию колеблющейся струны на частотах (4.39) можно легко нарисовать, когда амплитуды бегущей и отраженной волн не меняются вдоль шнура и равны между собой. Очевидно, что это будут стоячие волны, рассмотренные нами выше и соответствующие одинаковым граничным условиям: на обоих концах шнура должны быть узлы смещения.

Для примера на рис. 4.14 изображены три возможные конфигурации шнура в момент времени, когда смещения элементов шнура максимальны. Колебания, соответствующие этим конфигурациям, являются нормальными колебаниями (модами), а частоты - нормальными частотами. Если действие внешней силы прекратится, то эти колебания будут продолжаться как собственные, пока не затухнут.

Рис. 4.14.

Условие (4.39) можно переписать в более наглядном виде, если перейти от частоты к длине волны :

(4.40)

 

Это условие означает, что при нормальных колебаниях на длине шнура должно укладываться целое число полуволн. Легко теперь видеть, что каждая из мод может быть возбуждена, если прикладывать силу нужной частоты к любому участку шнура, за исключением тех, которые совпадают с узлами данной моды.

Видоизменим граничные условия и сделаем оба конца шнура свободными (привяжем их к натянутым легким нитям). Подсчитаем частоты вынуждающей силы, на которых возбуждаются стоячие волны (моды). Учтем, что после двух отражений импульс не меняет свою полярность, поэтому условие (4.40) останется прежним.

На рис. 4.15 показаны конфигурации мод для шнура со свободными концами. Видно, что при нормальных колебаниях на длине шнура также должно укладываться целое число полуволн, но таким образом, чтобы на концах шнура были пучности.

Рис. 4.15.

Закрепим теперь только левый конец шнура и будем двигать кронштейн с малой амплитудой Условие оптимального возбуждения стоячих волн (мод) получается из тех соображений, что импульс обращается только при отражении от левого конца шнура. Для усиления импульса необходимо, чтобы левый конец в момент времени двигался вниз, проходя положение равновесия:

(4.41)

 

Поэтому частота \omega должна удовлетворять условию

(4.42)

 

где

Отсюда

(4.43)

 

Последнее условие становится более наглядным, если перейти к длине волны :

(4.44)

 

где .

Соответствующие три низшие моды изображены на рис. 4.16. Очевидно, что это будут стоячие волны, отвечающие разным граничным условиям: на левом конце должен быть узел, а на правом - пучность. На длине шнура при этом укладывается нечетное число четвертей длин волн.

Рис. 4.16.

Замечание. При возбуждении моды мы задавали закон движения закрепленного конца шнура в виде что может вызвать у читателя некоторое недоумение - как может двигаться закрепленный конец? Однако амплитуда колебаний обычно значительно меньше амплитуды колебаний в пучностях, поэтому незначительно вибрирующий конец шнура может рассматриваться, как неподвижный.

Приложение 8

Основные формулы спектрального анализа

Для анализа переходных процессов при воздействии на цепь сигналов произвольной формы наряду с временным и оператор­ным методом широко используется частотный метод анализа, бази­рующийся на спектральных представлениях сигнала.

Для непериодических сигналов используются спектральные представления, основанные на паре преобразований Фурье. Преоб­разование Фурье может быть получено предельным переходом от ряда Фурье (5.6). Для этого зададим непериодический сигнал f(t), удовлетворяющий условию абсолютной интегрируемости в беско- неч­ных пределах (рис. 9.1):

. С физической точки

зрения, это означает, что задается реализуемый сигнал с конечной энергией; при этом где М, с0 положительные постоян­ные величины.

Условие (9.1) означает, что модуль |f(t)| имеет ограниченный показатель роста. Превратим мысленно этот сиг­нал в периодиче­ ский повторением его через период Т (см. рис. 9.1). К полу­ченному таким образом сигналу при­ме­нимо разло­жение (5.6), которое пос­ле перехода к переменной t можно записать в виде

где После подстановки Аk в уравнение (9.2) с учетом (9.3) получаем

Переходя в уравнении (9.4) учитывая, что при этом w1 dw и kw1 w, а сумма вырождается в интеграл, полу­чаем для исходного сигнала Внутренний интеграл в уравнении (9.5) носит название спектра сигнала F(jw): Тогда формула (9.5) принимает вид Уравнения (9.6) и (9.7) являются основными в теории спект­рального анализа, причем (9.6) называется прямым, а (9.7) — об­ратным преобразованием Фурье. По аналогии с Аk спектр F(jw) является в общем случае комплексной функцией частоты и может быть записан в алгебраической форме и показательной форме где Модуль определяет амплитудный, а аргумент

фазовый спектр сигнала. Причем, как и для периодического сигнала, амплитудный спектр является четной, а фазовый — нечет­ной функцией частоты. Физический смысл преобразования Фурье лучше всего проявляется при представлении обратного преоб­разования (9.7) в тригонометрической форме. Если подставить вместо F(jw) в (9.7) его значение из (9.9), то получим Учитывая, что |F(jw)| — четная, а синус — нечетная функция частоты интеграл от второго слагаемого равен нулю. Следова­тельно, принимая во внимание четность подынтегрального выраже­ния в первом слагаемом, обратное преобразование Фурье имеет вид Из (9.13) следует важнейший вывод о том, что непериодиче­ский сигнал может быть представлен пределом суммы (интеграл) бесконечно большого числа бесконечно малых гармонических ко­лебаний с амплитудами (1/p)|F(jw)| и начальными фазами j = j(w), причем, учитывая, что разность частот соседних гармоник беско­нечно мала Dw = dw, то F(jw) в уравнении (9.13) представляет непрерывный сплошной спектр в отличии от спектра периодиче­ского сигнала, который является дискретным (линейчатым) (см, гл. 5). Поэтому F(jw) называют комплексной спектральной плот­ностью, a |F(jw)| — спектральной плотностью амплитуд неперио­дичес­кого сигнала.

Смысл комплексного спектра F(jw) следует из связи между спектрами периодических и непериодических сигналов. Сравнение уравнений (9.3) с (9.6) позволяет установить эту связь между спектрами: и спектр комплексных амплитуд Ak обращается в комплексную спектральную плотность F(jw).

Из (9.14) следует и другой важный вывод: модуль спектраль­ной плотности непериодического сигнала и огибающая линейчатого спектра периодического сигнала, полученного повторением с пе­риодом Т непериодического сигнала, совпадают по форме и отли­чаются только масштабом. Это наглядно можно проиллюстриро­вать на примере периодической последовательности прямоуголь­ных импульсов (см. рис. 5.3, а): с увеличением периода (скваж­ности q) спектр становится гуще (см. рис. 5.4, б) и в пределе при T = ¥ периодический сигнал превращается в непериодический (рис. 9.2), а дискретный спектр обращается в сплошной (рис. 9.3). При этом огибающая как линейчатого, так и сплошного спектра описывается функцией отсчетов (5.29): sinx/x.

Рассмотрим некоторые основные свойства преобразования Фурье. Если сигнал f(t) является четной функцией времени, то, его спектр F(jw) вещественный. Действительно, согласно (9.6) для F(jw) можно записать: Второй интеграл равен нулю в силу нечетности подынтеграль­ной функции, следовательно, Аналогично при нечетности сигнала f(t) спектр F(jw) является чисто мнимым.

Важным свойством преобразования Фурье является взаимоза­меняемость переменных t и w. Для четного сигнала f(t) и веще­ственного спектра F(jw) можем заменить в преобразовании (9.6) знаки перед jwt: Тогда сравнивая (9.16) и (9.7) видим их подобие. Взаимозаме­няемость переменных в преобразовании Фурье позволяет устано­вить связь между частотными и временными характеристиками сигнала (см. § 9.5).

В соответствии с (9.8) и (9.9) сигнал может быть задан либо с помощью своего амплитудного |F(jw)| и фазового спектра j(w), либо с помощью вещественной A(w) и мнимой частей B(w) спектра сигнала. Причем, все они взаимосвязаны между собой согласно (9.11)—(9.12), т. е. нельзя задавать независимо амплитудный |F(jw)| и фазовый спектр j(w), или вещественную A(w) и мни­мую часть спектра B(w).

Наиболее ясно эта связь проявляется для сигнала, заданного на положительной полуоси времени t:

Перепишем (9.13) в форме

Или учитывая, что

при t 0 получим: и при t < 0 с учетом (9.17) Суммируя и вычитая равенства (9.19) и (9.20), получаем: Отсюда следует связь между вещественной A(w) и мнимой B(w) частями спектра сигнала: т. е. в данном случае сигнал f(t) полностью определяется только вещественной A(w) или мнимой B(w) частями комплексного спект­ра F(jw).

В заключение отметим, что при w = 0 спектр (9.6) принимает значение

т. е. будет равен площади, ограниченной сигналом f(t). Формула (9.23) позволяет в ряде случаев оценить спектр сигнала по виду функции f(t).

Следует подчеркнуть, что временное и спектральное представление является просто двумя формами (моделями) представления реального физического процесса, и они лежат в основе временных и частотных методов анализа электрических цепей. В заключение установим связь между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа. Если положить, что f(t) удовлетво­ряет условию (9.17), то прямое преобразование Фурье принимает вид Соотношение (9.24) носит название одностороннего преобразова­ния Фурье, так как оно определяется на положительной полуоси t. Если принять в качестве частного случая в формуле (7.1) a = 0, то р = jw, и прямое преобразование Лапласа (7.2) т. е. полностью совпадает с односторонним преобразованием Фурье (9.24).

Аналогично получим для обратного преобразования Лапласа (7.4) с учетом того, что dp = jdw: что полностью совпадает с (9.7).

Таким образом, преобразование Фурье есть частный случай преобразования Лапласа при a = 0. Следует подчеркнуть, что пре­образование Фурье имеет более узкую область применения, чем преобразование Лапласа, так как условие (9.1), которым должны удовлетворять функции, преобразуемые по Фурье более жесткое, чем условие (7.3). Всякая функция, для которой применимо пре­образование Фурье (9.6) всегда может быть преобразована по Лапласу, но не наоборот. В этой связи изображение F(p) можно трактовать как своего рода обобщенный спектр сигнала f(t).

9.2. Основные теоремы спектрального анализа

Как было установлено выше, между сигналом и его спектром существует однозначная связь, определяемая прямым преобразо­ванием Фурье. Поскольку в процессе передачи сигнала он под­вергается различным преобразованиям, очень важно установить как при этом изменяется спектр сигнала. Это имеет большое значение с точки зрения выбора оптимальных методов передачи, приема, требований к параметрам канала связи.

Рассмотрим основные теоремы о спектрах, имеющих практиче­ское применение в электросвязи. Учитывая связь между преобра­зованием Фурье и Лапласа и имея в виду доказательства основных теорем, данных в § 7.1, остановимся только на физической интер­претации основных теорем спектрального анализа.

Спектр суммы сигналов (теорема линейности) равен сумме спектров этих сигналов. Это свойство является следствием линей­ности преобразования Фурье. В более общем виде оно может быть записано следующим образом:

где ak — коэффициенты разложения; — знак соответствия между сигналом и его спектром, определяемого парой преобразований Фурье.

Сдвиг сигнала во времени f(t—t0) соответствует умножениюего спектра на : Из (9.28) следует важный вывод о том, что при сдвиге сигнала во времени его амплитудный спектр не изменяется, а фазовый изме­няется пропорционально wt0. Эта теорема имеет большое значение, так как в процессе обработки сигналов часто возникает необходи­мость осуществлять задержку сигнала (см. гл. 18, 19).Изменение масштаба независимого переменного (сжатие сиг­нала) описывается выражением Из (9.29) следует, что сжатие сигнала во времени (а > 1) приво­дит к расширению спектра сигнала и напротив — растяжение сиг­нала (а < 1) — к сужению спектра.

Перемножение двух сигналов (теорема свертки). Спектр про­изведения двух функций f1(t) и f2(t) соответствует свертке их спектров F1(jw) и F2(jw): Важное значение имеет обратная теорема о произведении спектров сигналов:

Свертка функций широко использовалась ранеево временных ме­тодах анализа электрических цепей (см. гл. 8).

Дифференцирование и интегрирование сигнала. При дифферен­цировании сигнала его спектр умножается на оператор jw:

а при интегрировании делится на jw: Доказательство (9.32)—(9.33) следует непосредственно из прямого и обратного преобразований Фурье. Следует подчеркнуть, что (9.33) справедливо для сигналов, удовлетворяющих условию F(0) = 0. Смещение спектра сигнала на частоту соответствует умно­жению сигнала на оператор : Теорема смещения (9.34) позволяет определить спектр модули­рованного сигнала и имеет большое значение в теории электриче­ской связи.

9.3. Распределение энергии в спектре
непериодического сигнала

Определим энергию сигнала f(t) по его спектральной характе­ристике F(jw). Предположим, что f(t) представляет собой напря­жение или ток, протекающий в единичном сопротивлении R = 1 Ом. Тогда согласно (1.4) энергия выделяемая f(t) будет равна Представим подынтегральное выражение (9.35) в виде произве­дения и применим к f(t) обратное преобразование Фурье (9.7):

Учитывая независимость переменных t и w, перепишем последнюю формулу в виде Внутренний интеграл представляет собой сопряженный спектр F(—jw). Если учесть, что , то получим сле­дующее равенство Парсеваля (теорема Рэлея): Из уравнения (9.36) следует, что величина |F(jw)|2 представ­ляет собой энергию сигнала, приходящуюся на 1 с–1 текущей ча­стоты w, поэтому квадрат модуля спектра |F(jw)|2 называют спектральной плотностью энергии сигнала. Вид модуля |F(jw)| позволяет судить о распределении энергии в спектре непериодиче­ского сигнала. Равенство Парсеваля широко используется в теории цепей и сигналов при выборе полосы пропускания канала связи, обеспечивающей наилучшее использование энергии сигнала.

Следует отметить, что в отличие от формулы (5.23), где рас­сматривалась средняя за период Т мощность периодического несинусоидального сигнала, для непериодического сигнала такое усред-­

нение невозможно ( ). Общим для обеих случаев является

то, что мощность и энергия сигналов не зависят от фаз спектраль­ных составляющих.

9.4. Спектры типовых сигналов

Определим спектры наиболее распространенных типов электри­ческих сигналов.

Единичная функция задается уравнением (7.19) (см. рис. 7.2, а). Строго говоря, функция (7.19) не удовлетворяет условию абсо­лютной интегрируемости (см. § 9.1), поэтому воспользуемся сле­дующим приемом: умножим 1(t) на «гасящий» множитель еct (с = const). При этом можно использовать прямое преобразо­вание Фурье (9.6): Преобразование F(jw, c) носит название обобщенного преобразо­вания Фурье. Для получения спектра единичной функции перейдем к пределу:

Из уравнения (9.38) получаем амплитудный |F(jw)| = 1/w (рис. 9.4, а) и фазовый спектр функции j(w) (рис. 9.4, б): j(w) = = —p/2, т. е. амплитудный спектр при w = 0 обращается в бесконеч­ность, что свидетельствует о наличии в исходной функции 1(t) скачка при t = 0 (см. рис. 7.2, а). Для образования этого скачка в соответствии с (9.38) при t = 0 осуществляется суммирование бесконечно большого числа синусоидальных составляющих. Спектр (9.38) может быть получен и с помощью изображения единичной функции (7.20):

Единичная импульсная функция. Функция d(t) задается анали­тически условиями (7.21). Для нахождения спектра d-функции воспользуемся прямым преобразованием Фурье (9.6), которое с учетом (9.8)—(9.10) можно записать в виде

Так как второе слагаемое равно нулю, а первое — единице вслед­ствие свойств (7.21)—(7.23), то окончательно получим Таким образом, d-функция имеет равномерный амплитудный и нулевой фазовый спектры. Равенство нулю на всех частотах фазового спектра означает, что все гармонические составляю­щие d-функ­ции, суммируясь с нулевыми начальными фазами, обра­зуют при t = 0 пик бесконечно большого значения.

Следует отметить, что сдвиг d-функции на время t приводит согласно свойствам преобразования Фурье (см. § 9.2) к спектру , т. е. амплитудный спектр функции d(t—t) остается прежним, а фазовый изменяется пропорционально wt.

Из равенства (9.39) согласно обратному преобразованию Фурье (9.7) следует, что

Учитывая условие взаимозаменяемости параметров t и w (см. § 9.1), последнее выражение можно переписать в следующем виде:

Уравнения (9.40) и (9.41) широко используютсяв теории сиг­налов и цепей.

Спектр постоянной составляющей функции a0/2 = 1/2 с учетом (9.41) определяется уравнением

Таким образом, спектр постоянной составляющей равен нулю на всех частотах, кроме w = 0, где F(jw) обращается в бесконеч­ность, то есть имеем на частоте w = 0 дискретную составляющую частоты в форме d-функции.

Спектр гармонического колебания. Проиллюстрируем методику использования прямого преобразования Фурье при определении спектра гармонического колебания

Преобразование (9.6) для функции (9.43) имеет вид

Формально функция (9.43) не удовлетворяет условию абсолют­ной интегрируемости, так как имеет показатель роста с = 0. По этому для вычисления интеграла (9.44) воспользуемся формулой Эйлера (3.18) и уравнением (9.41):

т. е. гармоническое колебание имеет дискретный спектр, состоя­щий из двух спектральных линий на частотах ±w0.

Спектр одиночного прямоугольного импульса (см. рис. 9.2) мож­но найти как непосредственно из прямого преобразования Фурье (9.6), так и путем предельного перехода при q ® ¥ (T® ¥) в разложении (5.27). В результате получим


На рис. 9.3 изображен спектр одиночного импульса. Сравнение рис. 9.3 и рис. 5.4 показывает, что по своей форме спектр одиноч­ного импульса совпадает с огибающей дискретного спектра после­довательности периодических импульсов, однако спектр одиночного импульса является сплошным.

Из условия взаимосвязи между частотными и временными ха­рактеристиками сигнала следует, что сигнал с ограниченным по частоте ±w0 спектром прямоугольной формы (рис. 9.5, а) имеет бесконечную протяженность и форму, аналогичную спектру прямо­угольного импульса (рис. 9.5, б).

Спектр радиоимпульса (рис. 9.6) можно найти как произведе­ние видеоимпульса прямоугольной формы (рис. 9.7) и гармониче­ского колебания (9.43). Тогда, воспользовавшись теоремой сверт­ки (9.30), получим:

На рис. 9.8 показан вид спектра радиоимпульса.

Аналогичным образом можно найти спектр сигналов и более сложной формы.

Пример. Найти спектр экспоненциального импульса

В соответствии с прямым преобразованием (9.6) получаем

где — амплитудный (рис. 9.9, а) и —фазо­вый (рис. 9.9, б) спектры сигнала.

Пример 2. Определить спектр затухающего колебания (рис. 9.10)

Согласно (9.6) находим

Отсюда находим спектры:амплитудный (рис. 9.11, а)

и фазовый (рис. 9.11, б)

В таблице приведены спектры некоторых наиболее распространенных сигналов.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Телекоммуникаций и информатики

Федеральное агентство связи.. государственное образовательное учреждение.. высшего профессионального образования поволжский государственный университет..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

А.Г. Глущенко, Е.П.Глущенко
Введение в теорию колебаний. Конспект лекций. – Самара: ГОУВПО ПГУТИ, 2013. – 198 с.     Настоящее издание представляет собой учебное пособие к образовательному

Колебания в биологических объектах
Таким образом, колебания охватывают огромную область физических явлений и технических процессов. Классификация колебаний по характеру взаимодействия с окружающей средой

Гармонические колебания
Гармоническое колебание —это колебание, при котором физическая (или любая другая) величина изменяется с течением времени по синусоидальному или косинусоидальному закону

Аналитическое
Колебательный процесс описывается в виде периодической функции, например,

Метод фазовых траекторий
Метод описания колебаний путем построения траектории тражения системы в плоскости -

Траектория движения точки в плоскости называется фазовым портретом
Особенно просто выглядит фазовая траектория гармонического колебания, при котором координата и скорость описываются функциями 

Способы представления колебательных движений: Аналитический, табличный, графический, спектральный, векторные диаграммы, фазовый портрет
Гармонические колебания являются простейшей моделью колебательного движения достаточно часто встречающегося в действительности. Любое колебание может быть представлено как сумма гармонических ко

Сложение гармонических колебаний одного направления
Если колеблющееся система или тело участвует в нескольких колебательных процессах, тогда необходимо найти результирующее колебание, иными словами, колебания необходимо сложить. Сложим гармонические

Сложение взаимно перпендикулярных колебаний
Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y. Она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотноше

Спектральное представление колебательных процессов
  Обычной и естественной системой отсчета для нас является время. Мы наблюдаем, как развивается, то или иное событие во времени. Для наблюдения изменения во времени мгновенных значени

Зачем, собственно, нужно считать спектры сигналов?
Во-первых, это позволяет по-новому взглянуть на сигнал, лучше понять его природу, найти характерные частоты сигнала (если их несколько, то по виду самого сигнала это может быть затруднительно). Нап

Анализ сигнала не включающий определения фазовых соотношений между синусоидальными составляющими называется спектральным анализом
У частотной области есть свои плюсы. Частотная область гораздо удобнее в плане измерений. Те, кто занимаются беспроводной связью, заинтересованы в определении внеполосного и паразитного излучения.

Непериодические сигналы
Непериодические сигналы можно представить в виде интеграла синусоидальных сигналов с непрерывным спектром частот. Например, спектральное разложение идеального импульса (единичной мощности и нулевой

Гауссов импульс. Колоколообразный (гауссовский) импульс определяется выражением
Во временной области он изображен на рис. 14 а. Условно длительность такого импульса определяют по уровню е-1/ 2

Спектр широкополосного случайного процесса. Белый шум
Случайный процесс может быть назван широкополосным, если эффективная полоса частот его спектральной плотности мощности сравнима со средней частотой этой полосы, либо эта полоса значительно шире пол

Спектральный анализ
Спектральный анализ — совокупность методов качественного и количественного определения состава среды, основанная на изучении спектров взаимодействия материи с излучением, включая с

Непрерывные спектры дают тела, находящиеся в твердом, жидком состоянии, а также сильно сжатые газы
Полосатые спектры в отличие от линейчатых спектров создаются не атомами, а молекулами, не связанными или слабо связанными друг с другом. Полосатые спектры имеют твердые тела.

Свободные колебания в системах с одной степенью свободы
Пружинный маятник (http://www.all-fizika.com/virtual/pryjin.php) Опишем движение небольшого бруска массой m, расположенного на гладкой горизонтальной поверхности и прикреп

Колебание жидкости в трубке
Рассмотрим еще один пример колебательной системы. Пусть в вертикальной  U-образной трубке находится вода (рис. 4.8).

Свободные колебания в контуре
Цепь (или часть другой цепи), состоящая из конденсатора и катушки индуктивности называется колебательным контуром. Пусть конденсатор зарядили до заряда qo и затем подклю

Плазменные колебания
В плазме возможно самопроизвольное смещение зарядов. Такое смещение зарядов вызовет колебательные движения зарядов. Рассмотрим упрощенный подход к решению задачи о нарушениbя квазинейтр

Фазовый портрет колебательной системы
В любой колебательной системе с одной степенью свободы смещение (t) и скорость меня

Положение равновесия в точке 0 на фазовой плоскости является особой точкой и называется особой точкой типа "центр"
Линейный осциллятор с затуханием. Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на характер движения системы. Наиболее простые закономерно

Нелинейные колебания
С увеличением энергии возрастают амплитуды колебаний смещения и скорости

Затухающие механические колебания крутильного маятника
Свободные колебания реальных механических систем всегда затухают. Затухание возникает в основном из-за трения, сопротивления окружающей среды и возбуждения в ней упругих волн. Рассмотрим с

Период затухающих колебаний
. Если A(t) и А(t + Т) — амплитуды двух последовательных колебаний, соответст­вующих моментам времени,

Добротность
Пниях логарифмического декремента добротность равна (т

Уравнение вынужденных колебаний и его решение. Резонанс
Потери механической энергии в любой колебательной системе из-за  наличия сил трения неизбежны, поэтому без «подкачки» энергии извне колебания будут затухающими. Существует несколько принципиа

Вынужденные электромагнитные колебания
Вынужденныминазываются такие колебания, которые происходят в колебательной системе под влиянием внешнего периодического воздействия.

Установление колебаний
Мы уже отмечали, что если приложить к покоящемуся маятнику гармоническую силу в момент времени t=0, то маятник начнет постепенно раскачиваться, как это качественно изображено на рис. 2.7а. У

Колебательные системы с двумя степенями свободы
  Связанные колебательные системы влияют друг на друга. Колебания таких систем уже не будут независимы, поскольку системы обмениваются энергией. Связь может быть обусловлена:

Колебания систем со многими степенями свободы
Основные идеи, сформулированные при рассмотрении колебаний систем с двумя степенями свободы, теперь могут быть с успехом использованы для анализа колебаний систем с тремя, четырьмя,

Колебания струны
Представим себе, что мы возбудили струну так, что по ней побежала поперечная упругая волна. Дойдя до закрепленного конца струны, волна отразится и побежит обратно. Тогда в любой точке струны встреч

Тоны и обертоны
Струна, оттянутая строго посередине, будет совершать колебания, показанные на рис. 8.3. Через каждые пол периода вся струна оказывается по разные стороны от положения равновесия. При этом на концах

Колебания воздушного столба
В духовых музыкальных инструментах (различных трубах) источником звука является колеблющийся столб воздуха, в котором, как и в струне, возникают стоячие волны. Его колебания возбуждаются вдуванием

Колебания струны, закрепленной с двух концов
Рис.8.7.   В силу граничных условий, заданных закреплением концов струны, уравнение стоячей волны при выбо

Параметрические колебания. Качели
Всем хорошо знакома и многими любима такая старинная забава как качели. Тренировкам на этом снаряде придает большое значение даже летчики и космонавты. Когда малыша, сидящего на качелях, раскачивае

Http://fizportal.ru/physics-book-47-1
http://jstonline.narod.ru/rsw/course_cont.htm#rsw_b0     Приложение 1. Основные характеристики звука Упругие волны в воздухе, имеющ

Закон Вебера-Фехнера. Диаграмма слуха
Определение громкости звука основано на психофизическом законе, установленном в 1846 году Э.-Г. Вебером, который заложил основы "психометрии", т.е. количественных измерений ощущений. Поск

Некоторые сведения о музыкальных инструментах
Деревянные деки музыкальных инструментов выполняют функции резонаторов, обеспечивая хорошие условия звучания. Частоты струнных инструментов не зависят от резонатора. Основная частота звука

Добротность различных колебательных систем
Интересно сопоставить основные характеристики различных колебательных систем (иногда их для краткости называют осцилляторами), наиболее распространенных в природе и технике. Примерами таких осцилля

Резонаторы
Резона́нс (фр. resonance, от лат. resono — откликаюсь) — явление резкого возрастания амплитуды вынужденных колебаний, которое наступает при приближении частоты в

Основные формулы механических и электромагнитных колебаний
  Пружинный маятник Колебательный контур Механические величины Электрические величины

Метод комплексных амплитуд
Если в формуле Эйлера (1.53): под понимать фазу гармонических колебаний

Вынужденные колебания с произвольной частотой
Будем искать решение уравнения (2.10) в комплексном виде: (2.26)

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги