Возбуждение стоячих волн в шнуре. Моды колебаний.

Пусть кронштейн, к которому привязан левый конец шнура, совершает гармонические колебания где - очень малая амплитуда. Поэтому левый конец шнура можно считать закрепленным. По шнуру побежит гармоническая волна (рис. 4.13), которая после отражения от правого закрепленного конца приобретет сдвиг фазы, равный Добежав до левого конца, она еще раз отразится, а сдвиг фазы станет равным

Рис. 4.13.

Двукратно отраженная волна наложится на постоянно бегущую вправо гармоническую волну. Если сдвиг фазы колебаний у этих волн будет кратным величине то результатом наложения будет волна, амплитуда которой превышает амплитуду исходной бегущей волны. Таким образом, бегущая волна усилится. Если бы не было потерь энергии, то нарастание амплитуды при многократном отражении было бы неограниченным. Однако потери, как мы не раз видели, также увеличатся с ростом амплитуды. Поэтому колебания установятся: в систему будет закачано некоторое количество энергии, а дальнейший приток ее будет равен диссипации.

Определим частоту внешнего воздействия с которой следует двигать левый кронштейн, чтобы обеспечить максимальное усиление волны. Поскольку бегущая гармоническая волна может рассматриваться как набор следующих друг за другом со скоростью импульсов разной полярности, то мы проследим за усилением любого из них (например, заштрихованного на рис. 4.13). Время движения импульса (для определенности точки А в его начале) по шнуру туда и обратно равно Учтем далее, что после двух отражений этот импульс два раза обратится. Для его усиления необходимо, чтобы в момент левый конец шнура проходил положение равновесия и двигался при этом вверх:

(4.37)

Поэтому частота должна удовлетворять условию

(4.38)

где

Отсюда

(4.39)

Конфигурацию колеблющейся струны на частотах (4.39) можно легко нарисовать, когда амплитуды бегущей и отраженной волн не меняются вдоль шнура и равны между собой. Очевидно, что это будут стоячие волны, рассмотренные нами выше и соответствующие одинаковым граничным условиям: на обоих концах шнура должны быть узлы смещения.

Для примера на рис. 4.14 изображены три возможные конфигурации шнура в момент времени, когда смещения элементов шнура максимальны. Колебания, соответствующие этим конфигурациям, являются нормальными колебаниями (модами), а частоты - нормальными частотами. Если действие внешней силы прекратится, то эти колебания будут продолжаться как собственные, пока не затухнут.

Рис. 4.14.

Условие (4.39) можно переписать в более наглядном виде, если перейти от частоты к длине волны :

(4.40)

Это условие означает, что при нормальных колебаниях на длине шнура должно укладываться целое число полуволн. Легко теперь видеть, что каждая из мод может быть возбуждена, если прикладывать силу нужной частоты к любому участку шнура, за исключением тех, которые совпадают с узлами данной моды.

Видоизменим граничные условия и сделаем оба конца шнура свободными (привяжем их к натянутым легким нитям). Подсчитаем частоты вынуждающей силы, на которых возбуждаются стоячие волны (моды). Учтем, что после двух отражений импульс не меняет свою полярность, поэтому условие (4.40) останется прежним.

На рис. 4.15 показаны конфигурации мод для шнура со свободными концами. Видно, что при нормальных колебаниях на длине шнура также должно укладываться целое число полуволн, но таким образом, чтобы на концах шнура были пучности.

Рис. 4.15.

Закрепим теперь только левый конец шнура и будем двигать кронштейн с малой амплитудой Условие оптимального возбуждения стоячих волн (мод) получается из тех соображений, что импульс обращается только при отражении от левого конца шнура. Для усиления импульса необходимо, чтобы левый конец в момент времени двигался вниз, проходя положение равновесия:

(4.41)

Поэтому частота \omega должна удовлетворять условию

(4.42)

где

Отсюда

(4.43)

Последнее условие становится более наглядным, если перейти к длине волны :

(4.44)

где .

Соответствующие три низшие моды изображены на рис. 4.16. Очевидно, что это будут стоячие волны, отвечающие разным граничным условиям: на левом конце должен быть узел, а на правом - пучность. На длине шнура при этом укладывается нечетное число четвертей длин волн.

Рис. 4.16.

Замечание. При возбуждении моды мы задавали закон движения закрепленного конца шнура в виде что может вызвать у читателя некоторое недоумение - как может двигаться закрепленный конец? Однако амплитуда колебаний обычно значительно меньше амплитуды колебаний в пучностях, поэтому незначительно вибрирующий конец шнура может рассматриваться, как неподвижный.

Приложение 8

Основные формулы спектрального анализа

Для анализа переходных процессов при воздействии на цепь сигналов произвольной формы наряду с временным и операторным методом широко используется частотный метод анализа, базирующийся на спектральных представлениях сигнала.

Для непериодических сигналов используются спектральные представления, основанные на паре преобразований Фурье. Преобразование Фурье может быть получено предельным переходом от ряда Фурье (5.6). Для этого зададим непериодический сигнал f(t), удовлетворяющий условию абсолютной интегрируемости в беско- нечных пределах (рис. 9.1):

. С физической точки

зрения, это означает, что задается реализуемый сигнал с конечной энергией; при этом где М, с₀ — положительные постоянные величины.

Условие (9.1) означает, что модуль |f(t)| имеет ограниченный показатель роста. Превратим мысленно этот сигнал в периодиче ский повторением его через период Т (см. рис. 9.1). К полученному таким образом сигналу применимо разложение (5.6), которое после перехода к переменной t можно записать в виде

где После подстановки А_k в уравнение (9.2) с учетом (9.3) получаем

Переходя в уравнении (9.4) учитывая, что при этом w₁ dw и kw₁ w, а сумма вырождается в интеграл, получаем для исходного сигнала Внутренний интеграл в уравнении (9.5) носит название спектра сигнала F(jw): Тогда формула (9.5) принимает вид Уравнения (9.6) и (9.7) являются основными в теории спектрального анализа, причем (9.6) называется прямым, а (9.7) — обратным преобразованием Фурье. По аналогии с А_k спектр F(jw) является в общем случае комплексной функцией частоты и может быть записан в алгебраической форме и показательной форме где Модуль определяет амплитудный, а аргумент

— фазовый спектр сигнала. Причем, как и для периодического сигнала, амплитудный спектр является четной, а фазовый — нечетной функцией частоты. Физический смысл преобразования Фурье лучше всего проявляется при представлении обратного преобразования (9.7) в тригонометрической форме. Если подставить вместо F(jw) в (9.7) его значение из (9.9), то получим Учитывая, что |F(jw)| — четная, а синус — нечетная функция частоты интеграл от второго слагаемого равен нулю. Следовательно, принимая во внимание четность подынтегрального выражения в первом слагаемом, обратное преобразование Фурье имеет вид Из (9.13) следует важнейший вывод о том, что непериодический сигнал может быть представлен пределом суммы (интеграл) бесконечно большого числа бесконечно малых гармонических колебаний с амплитудами (1/p)|F(jw)| и начальными фазами j = j(w), причем, учитывая, что разность частот соседних гармоник бесконечно мала Dw = dw, то F(jw) в уравнении (9.13) представляет непрерывный сплошной спектр в отличии от спектра периодического сигнала, который является дискретным (линейчатым) (см, гл. 5). Поэтому F(jw) называют комплексной спектральной плотностью, a |F(jw)| — спектральной плотностью амплитуд непериодического сигнала.

Смысл комплексного спектра F(jw) следует из связи между спектрами периодических и непериодических сигналов. Сравнение уравнений (9.3) с (9.6) позволяет установить эту связь между спектрами: и спектр комплексных амплитуд A_k обращается в комплексную спектральную плотность F(jw).

Из (9.14) следует и другой важный вывод: модуль спектральной плотности непериодического сигнала и огибающая линейчатого спектра периодического сигнала, полученного повторением с периодом Т непериодического сигнала, совпадают по форме и отличаются только масштабом. Это наглядно можно проиллюстрировать на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов (см. рис. 5.3, а): с увеличением периода (скважности q) спектр становится гуще (см. рис. 5.4, б) и в пределе при T = ¥ периодический сигнал превращается в непериодический (рис. 9.2), а дискретный спектр обращается в сплошной (рис. 9.3). При этом огибающая как линейчатого, так и сплошного спектра описывается функцией отсчетов (5.29): sinx/x.

Рассмотрим некоторые основные свойства преобразования Фурье. Если сигнал f(t) является четной функцией времени, то, его спектр F(jw) — вещественный. Действительно, согласно (9.6) для F(jw) можно записать: Второй интеграл равен нулю в силу нечетности подынтегральной функции, следовательно, Аналогично при нечетности сигнала f(t) спектр F(jw) является чисто мнимым.

Важным свойством преобразования Фурье является взаимозаменяемость переменных t и w. Для четного сигнала f(t) и вещественного спектра F(jw) можем заменить в преобразовании (9.6) знаки перед jwt: Тогда сравнивая (9.16) и (9.7) видим их подобие. Взаимозаменяемость переменных в преобразовании Фурье позволяет установить связь между частотными и временными характеристиками сигнала (см. § 9.5).

В соответствии с (9.8) и (9.9) сигнал может быть задан либо с помощью своего амплитудного |F(jw)| и фазового спектра j(w), либо с помощью вещественной A(w) и мнимой частей B(w) спектра сигнала. Причем, все они взаимосвязаны между собой согласно (9.11)—(9.12), т. е. нельзя задавать независимо амплитудный |F(jw)| и фазовый спектр j(w), или вещественную A(w) и мнимую часть спектра B(w).

Наиболее ясно эта связь проявляется для сигнала, заданного на положительной полуоси времени t:

Перепишем (9.13) в форме

Или учитывая, что

при t 0 получим: и при t < 0 с учетом (9.17) Суммируя и вычитая равенства (9.19) и (9.20), получаем: Отсюда следует связь между вещественной A(w) и мнимой B(w) частями спектра сигнала: т. е. в данном случае сигнал f(t) полностью определяется только вещественной A(w) или мнимой B(w) частями комплексного спектра F(jw).

В заключение отметим, что при w = 0 спектр (9.6) принимает значение

т. е. будет равен площади, ограниченной сигналом f(t). Формула (9.23) позволяет в ряде случаев оценить спектр сигнала по виду функции f(t).

Следует подчеркнуть, что временное и спектральное представление является просто двумя формами (моделями) представления реального физического процесса, и они лежат в основе временных и частотных методов анализа электрических цепей. В заключение установим связь между преобразованием Фурье и преобразованием Лапласа. Если положить, что f(t) удовлетворяет условию (9.17), то прямое преобразование Фурье принимает вид Соотношение (9.24) носит название одностороннего преобразования Фурье, так как оно определяется на положительной полуоси t. Если принять в качестве частного случая в формуле (7.1) a = 0, то р = jw, и прямое преобразование Лапласа (7.2) т. е. полностью совпадает с односторонним преобразованием Фурье (9.24).

Аналогично получим для обратного преобразования Лапласа (7.4) с учетом того, что dp = jdw: что полностью совпадает с (9.7).

Таким образом, преобразование Фурье есть частный случай преобразования Лапласа при a = 0. Следует подчеркнуть, что преобразование Фурье имеет более узкую область применения, чем преобразование Лапласа, так как условие (9.1), которым должны удовлетворять функции, преобразуемые по Фурье более жесткое, чем условие (7.3). Всякая функция, для которой применимо преобразование Фурье (9.6) всегда может быть преобразована по Лапласу, но не наоборот. В этой связи изображение F(p) можно трактовать как своего рода обобщенный спектр сигнала f(t).

9.2. Основные теоремы спектрального анализа

Как было установлено выше, между сигналом и его спектром существует однозначная связь, определяемая прямым преобразованием Фурье. Поскольку в процессе передачи сигнала он подвергается различным преобразованиям, очень важно установить как при этом изменяется спектр сигнала. Это имеет большое значение с точки зрения выбора оптимальных методов передачи, приема, требований к параметрам канала связи.

Рассмотрим основные теоремы о спектрах, имеющих практическое применение в электросвязи. Учитывая связь между преобразованием Фурье и Лапласа и имея в виду доказательства основных теорем, данных в § 7.1, остановимся только на физической интерпретации основных теорем спектрального анализа.

Спектр суммы сигналов (теорема линейности) равен сумме спектров этих сигналов. Это свойство является следствием линейности преобразования Фурье. В более общем виде оно может быть записано следующим образом:

где a_k — коэффициенты разложения; — знак соответствия между сигналом и его спектром, определяемого парой преобразований Фурье.

Сдвиг сигнала во времени f(t—t₀) соответствует умножениюего спектра на : Из (9.28) следует важный вывод о том, что при сдвиге сигнала во времени его амплитудный спектр не изменяется, а фазовый изменяется пропорционально wt₀. Эта теорема имеет большое значение, так как в процессе обработки сигналов часто возникает необходимость осуществлять задержку сигнала (см. гл. 18, 19).Изменение масштаба независимого переменного (сжатие сигнала) описывается выражением Из (9.29) следует, что сжатие сигнала во времени (а > 1) приводит к расширению спектра сигнала и напротив — растяжение сигнала (а < 1) — к сужению спектра.

Перемножение двух сигналов (теорема свертки). Спектр произведения двух функций f₁(t) и f₂(t) соответствует свертке их спектров F₁(jw) и F₂(jw): Важное значение имеет обратная теорема о произведении спектров сигналов:

Свертка функций широко использовалась ранеево временных методах анализа электрических цепей (см. гл. 8).

Дифференцирование и интегрирование сигнала. При дифференцировании сигнала его спектр умножается на оператор jw:

а при интегрировании делится на jw: Доказательство (9.32)—(9.33) следует непосредственно из прямого и обратного преобразований Фурье. Следует подчеркнуть, что (9.33) справедливо для сигналов, удовлетворяющих условию F(0) = 0. Смещение спектра сигнала на частоту соответствует умножению сигнала на оператор : Теорема смещения (9.34) позволяет определить спектр модулированного сигнала и имеет большое значение в теории электрической связи.

9.3. Распределение энергии в спектре
непериодического сигнала

Определим энергию сигнала f(t) по его спектральной характеристике F(jw). Предположим, что f(t) представляет собой напряжение или ток, протекающий в единичном сопротивлении R = 1 Ом. Тогда согласно (1.4) энергия выделяемая f(t) будет равна Представим подынтегральное выражение (9.35) в виде произведения и применим к f(t) обратное преобразование Фурье (9.7):

Учитывая независимость переменных t и w, перепишем последнюю формулу в виде Внутренний интеграл представляет собой сопряженный спектр F(—jw). Если учесть, что , то получим следующее равенство Парсеваля (теорема Рэлея): Из уравнения (9.36) следует, что величина |F(jw)|² представляет собой энергию сигнала, приходящуюся на 1 с^–1 текущей частоты w, поэтому квадрат модуля спектра |F(jw)|² называют спектральной плотностью энергии сигнала. Вид модуля |F(jw)| позволяет судить о распределении энергии в спектре непериодического сигнала. Равенство Парсеваля широко используется в теории цепей и сигналов при выборе полосы пропускания канала связи, обеспечивающей наилучшее использование энергии сигнала.

Следует отметить, что в отличие от формулы (5.23), где рассматривалась средняя за период Т мощность периодического несинусоидального сигнала, для непериодического сигнала такое усред-

нение невозможно (). Общим для обеих случаев является

то, что мощность и энергия сигналов не зависят от фаз спектральных составляющих.

9.4. Спектры типовых сигналов

Определим спектры наиболее распространенных типов электрических сигналов.

Единичная функция задается уравнением (7.19) (см. рис. 7.2, а). Строго говоря, функция (7.19) не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости (см. § 9.1), поэтому воспользуемся следующим приемом: умножим 1(t) на «гасящий» множитель е^–^ct (с = const). При этом можно использовать прямое преобразование Фурье (9.6): Преобразование F(jw, c) носит название обобщенного преобразования Фурье. Для получения спектра единичной функции перейдем к пределу:

Из уравнения (9.38) получаем амплитудный |F(jw)| = 1/w (рис. 9.4, а) и фазовый спектр функции j(w) (рис. 9.4, б): j(w) = = —p/2, т. е. амплитудный спектр при w = 0 обращается в бесконечность, что свидетельствует о наличии в исходной функции 1(t) скачка при t = 0 (см. рис. 7.2, а). Для образования этого скачка в соответствии с (9.38) при t = 0 осуществляется суммирование бесконечно большого числа синусоидальных составляющих. Спектр (9.38) может быть получен и с помощью изображения единичной функции (7.20):

Единичная импульсная функция. Функция d(t) задается аналитически условиями (7.21). Для нахождения спектра d-функции воспользуемся прямым преобразованием Фурье (9.6), которое с учетом (9.8)—(9.10) можно записать в виде

Так как второе слагаемое равно нулю, а первое — единице вследствие свойств (7.21)—(7.23), то окончательно получим Таким образом, d-функция имеет равномерный амплитудный и нулевой фазовый спектры. Равенство нулю на всех частотах фазового спектра означает, что все гармонические составляющие d-функции, суммируясь с нулевыми начальными фазами, образуют при t = 0 пик бесконечно большого значения.

Следует отметить, что сдвиг d-функции на время t приводит согласно свойствам преобразования Фурье (см. § 9.2) к спектру , т. е. амплитудный спектр функции d(t—t) остается прежним, а фазовый изменяется пропорционально wt.

Из равенства (9.39) согласно обратному преобразованию Фурье (9.7) следует, что

Учитывая условие взаимозаменяемости параметров t и w (см. § 9.1), последнее выражение можно переписать в следующем виде:

Уравнения (9.40) и (9.41) широко используютсяв теории сигналов и цепей.

Спектр постоянной составляющей функции a₀/2 = 1/2 с учетом (9.41) определяется уравнением

Таким образом, спектр постоянной составляющей равен нулю на всех частотах, кроме w = 0, где F(jw) обращается в бесконечность, то есть имеем на частоте w = 0 дискретную составляющую частоты в форме d-функции.

Спектр гармонического колебания. Проиллюстрируем методику использования прямого преобразования Фурье при определении спектра гармонического колебания

Преобразование (9.6) для функции (9.43) имеет вид

Формально функция (9.43) не удовлетворяет условию абсолютной интегрируемости, так как имеет показатель роста с = 0. По этому для вычисления интеграла (9.44) воспользуемся формулой Эйлера (3.18) и уравнением (9.41):

т. е. гармоническое колебание имеет дискретный спектр, состоящий из двух спектральных линий на частотах ±w₀.

Спектр одиночного прямоугольного импульса (см. рис. 9.2) можно найти как непосредственно из прямого преобразования Фурье (9.6), так и путем предельного перехода при q ® ¥ (T® ¥) в разложении (5.27). В результате получим

На рис. 9.3 изображен спектр одиночного импульса. Сравнение рис. 9.3 и рис. 5.4 показывает, что по своей форме спектр одиночного импульса совпадает с огибающей дискретного спектра последовательности периодических импульсов, однако спектр одиночного импульса является сплошным.

Из условия взаимосвязи между частотными и временными характеристиками сигнала следует, что сигнал с ограниченным по частоте ±w₀ спектром прямоугольной формы (рис. 9.5, а) имеет бесконечную протяженность и форму, аналогичную спектру прямоугольного импульса (рис. 9.5, б).

Спектр радиоимпульса (рис. 9.6) можно найти как произведение видеоимпульса прямоугольной формы (рис. 9.7) и гармонического колебания (9.43). Тогда, воспользовавшись теоремой свертки (9.30), получим:

На рис. 9.8 показан вид спектра радиоимпульса.