Сложение взаимно перпендикулярных колебаний

Рассмотрим материальную точку, участвующую в двух взаимно перпендикулярных колебаниях по осям X и Y. Она будет двигаться по некоторой криволинейной траектории, форма которой зависит как от соотношения частот, так и от разности фаз обоих колебаний.

1) Пусть частоты складываемых колебаний одинаковы, а уравнения колебаний имеют вид

Рис. 2.3. Колебания в плоскости x0y

,

где: и – амплитуды складываемых колебаний вдоль осей X и Y;

– разность фаз складываемых колебаний.

Система представляет собой уравнение искомой траектории в параметрической форме.

Чтобы получить уравнение траектории в явном виде, исключим параметр t из системы. Для этого разделим каждое уравнение системы на соответствующую ему амплитуду и получим

Используя тригонометрическое тождество

,

для второго уравнения после подстановкииз первого уравнения получим

Или после преобразования

 

 

Из аналитической геометрии известно, что это уравнение эллипса с произвольно ориентированными осями, вписанного в прямоугольник со сторонами 2a и 2b, ограничивающего пространство, в котором совершаются колебания (рис. 2.3). Так как траектория результирующего колебания имеет форму эллипса, то такие колебания называются эллиптически поляризованными.

Ориентация относительно осей зависит от разности фаз .

Кроме того, если А=В, то эллипс) вырождается в окружность. Такие колебания называютсяциркулярно поляризо­ванными колебаниями иликолебаниями, поляризованными по кругу.

 

2) Рассмотрим частные случаи уравнения (2.2)

А) Пусть = 0, тогда cos = 1, sin = 0 и уравнение примет вид

, или

Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические колебания с частотой w из первой четверти координатной плоскости в третью четверть (рис.2.4). Амплитуда такого колебания равна .

Рис. 2.4.

 

Б) Пусть , тогда cos = –1, sin = 0 и уравнение примет вид

или .

Это значит, что точка движется по прямой, совершая гармонические колебания с частотой w из второй четверти координатной плоскости в четвертую (рис.2.3 e). В данном случае имеем дело слинейно поляризованными колебаниями;Амплитуда такого колебания равна

Рис. 2.5.

В) Пусть , тогда cos= 0, sin= ±1 и уравнение (2.2) примет вид

.

То есть точка движется по эллипсу (рис.2.3.c), оси которого совпадают с осями координат, а полуоси равны a и b. При этом, если , то точка движется по часовой стрелке, если , то против часовой стрелки.

Рис. 2.6.

Г) Если частоты взаимно перпендикулярных колебаний отличаются на малую величину Δw, то можно считать, что они происходят с одинаковой частотой, а разность фаз медленно меняется по закону

.

В этом случае траектория будет медленно меняться, последовательно проходя все этапы, показанные на рис. 2.7.

 

 

Рис.2.7. Сложение колебаний с одинаковыми частотами

При разности фаз груз движется по часовой стрелке, а при - против часовой стрелки. Типичным примером двумерного осциллятора (маятника) является электрон в атоме, который движется вокруг ядра по эллиптической орбите с периодом обращения T~10^-15 c Можно считать, что такой электрон одновременно совершает два взаимно-перпендикулярных колебания с частотой

3) Рассмотрим случай, когда частоты складываемых колебаний отличаются в два раза, например , .

Система уравнений (1) примет вид

Используя формулу косинуса двойного угла, получим уравнение параболы (рис.2.8)

4) В общем случае, когда частоты взаимно перпендикулярных колебаний неодинаковы и кратны

,

то траектории результирующего движения имеют вид довольно сложных кривых, называемых фигурами Лиссажу. Эти фигуры вписаны в прямоугольник 2a´2b, ограничивающий колебания по осям X и Y. При этом количество точек пересечения фигуры Лиссажу и оси X равно m, а количество точек пересечения оси Y равно n.

Вид этих кривых зависит от соотношения амплитуд, частот и разности фаз складываемых колебаний. На рисунке 2.9 представлены фигуры Лиссажу для различных соотношений частот (указаны слева) и разностей фаз .

 

Рис.2.10. Фигуры Лиссажу при разных соотношениях частот и фаз

По виду фигур можно определить неизвестную частоту по известной или определить отношение частот складываемых колебаний. Поэтому анализ фигур Лиссажу — широко используемый метод исследования соотношений частот и разности фаз складываемых колебаний, а также формы колебаний.

Если кратность между частотами отсутствует, то траектории не являются замкнутыми и постепенно заполняют весь прямоугольник, напоминая нить в клубке.

Контрольные вопросы:

 

1. Сложение однонаправленных колебаний методом векторных диаграмм

1. Преимущества метода векторных диаграмм

3. Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Когда получается окружность? Прямая?

4. Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых колебаний?

1. Какие фигуры могут быть получены при сложении колебаний с одинаковыми частотами;

6. Какие фигуры могут быть получены при сложении колебаний с близкими но различными частотами

7. Что такое биения? Чему равна частота биений? Период?

8. Какова траектория точки, участвующей одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях с одинаковыми периодами? Когда получается окружность? Прямая?

9. Как по виду фигур Лиссажу можно определить отношение частот складываемых колебаний?

10. Что такое биения? Чему равна частота биений? Период?