Методичні вказівки

З кожним стохастичним експериментом позв'язують деяку сукупність подій, що можуть наступити в результаті здійснення експерименту. Випадкові події характеризують експеримент із якісної сторони. Якщо з кожною елементарною випадковою подією зв'язати деяке число (дійсне або комплексне), то приходимо до поняття випадкової величини, що характеризує стохастичний експеримент кількісно.

Якщо множина можливих значень випадкової величини скінчена або злічена, то випадкова величина називається дискретною. Якщо випадкова величина приймає континуальну множину значень, то вона належить до класу неперервних випадкових величин. Сукупність декількох випадкових величин утворює багатовимірну або векторну випадкову величину.

Нехай ξ - деяка випадкова величина, що приймає значення з множини дійсних чисел , де і відповідно мінімальне і максимальне значення випадкової величини (не виключаються значення , ). Найбільш повний опис стохастичних властивостей випадкової величини здійснюється на основі так званої функції розподілу

,

яка дорівнює імовірності того, що випадкова величина ξ прийме значення, менше х . Варто пам'ятати, що - неспадна функція, причому

Функція розподілу F(х) дозволяє, наприклад, визначити імовірність того, що випадкова величина ξ прийме в результаті здійснення експерименту значення, що лежить між значеннями і :

(1)

Якщо функція розподілу F(х) неперервно диференційовна, то можна визначити функцію

яка називається щільністю розподілу імовірностей випадкової величини. Випадкові величини, що мають цю властивість, називаються неперервними. У цьому випадку праву частину рівності (1) можна переписати так:

Слід пам'ятати, що щільність розподілу – невід’ємна функція, для якої виконується умова нормування:

Знаючи щільність розподілу , можна знайти функцію розподілу за формулою:

.

Менш повними характеристиками випадкової величини є її числові характеристики - моменти. Перший початковий момент або математичне сподівання випадкової величини ξ із щільністю розподілу визначають співвідношенням:

. (2)

Математичне сподівання характеризує середнє значення випадкової величини. Для дискретної випадкової величини, що приймає n можливих значень з імовірностями відповідно у формулі (2) інтеграл заміняється сумою:

.

 

Іншою числовою характеристикою, яка широко застосовується на практиці, є дисперсія випадкової величини ξ:

,

 

або для дискретного випадку:

.

Значення дисперсії характеризує ступінь концентрації значень випадкової величини відносно середнього значення Мξ. Наприклад, для детермінованої величини D = 0.

Необхідно добре засвоїти властивості математичного сподівання і дисперсії.

При розгляді конкретних законів розподілу випадкових величин варто особливу увагу приділити нормальному розподілові, який найбільш часто застосовується в статистичній радіотехніці.

Якщо для двох випадкових величин ξ₁ і ξ₂ імовірність того, що ξ₁ прийме значення х, не залежить від того, яке значення прийме випадкова величина ξ₂, то випадкові величини називаються стохастично незалежними. У загальному випадку для характеристики стохастичної залежності вводиться поняття умовної щільності імовірності. Так, умовна щільність ймовірності ξ₁ , за умови, що ξ₂ = у,

де - сумісна (двовимірна) щільність розподілу випадкових величин ξ₁ і ξ₂. Для закріплення матеріалу, що стосується імовірносного опису випадкових величин, необхідно ознайомитися з лабораторними роботами 17 і 18 [14] і виконати їх.