Випадкові процеси та їх статистичні характеристики

Випадкові процеси, означення, класифікація, методи статистичного опису. Поняття послідовності функцій розподілу та щільностей імовірностей випадкового процесу. Їхні властивості. Характеристичні функції. Моментні функції випадкового процесу. Математичне сподівання, дисперсія та кореляційна функція випадкового процесу. Поняття взаємної кореляційної функції випадкових процесів.

Стаціонарні та слабо стаціонарні випадкові процеси. Поняття ерго-дичності випадкового процесу. Обчислення імовірнісних характеристик ергодичних процесів.

Література: [1, с. 149 - 153]; [2, с. 25 - 37]; [6, c. 134 - 157]; [8, с. 63 - 82, 97 -108] ; [9, с. 91 - 138]; [13, с. 124 - 135]; [14, с. 22 - 28].

Методичні вказівки

Випадковий процес можна визначити як деяку функцію, що залежить від часу t, значення якої являють собою випадкові величини. Якщо в кожен момент часу t із інтервалу існування випадкового процесу фіксувати деякі значення відповідних випадкових величин, то можна одержати одну з можливих реалізацій випадкового процесу. Випадковий же процес являє собою нескінченну сукупність таких реалізацій.

Існує велика кількість різних класів випадкових процесів. Необхідно пам'ятати, які процеси є стаціонарними, ергодичними, у чому їх особливості. Випадковий процес називається стаціонарним, якщо його імовірнісні характеристики не залежать від вибору початку відліку часу. Якщо стохастичні характеристики стаціонарного процесу, визначені за всім ансамблем реалізацій, збігаються з характеристиками, визначеними за однією реалізацією, то такий процес називається ергодичним. Таким чином, досліджуючи експериментально лише одну реалізацію достатньої тривалості ергодичного випадкового процесу, можна на практиці визначати потрібні теоретико-імовірнісні характеристики таких процесів.

Для опису стохастичних властивостей випадкових процесів викорис-товують, як і для випадкових величин, функції розподілу і щільності розподілу імовірностей. Однак ці функції залежать не тільки від конкретного значення випадкової величини, але і від часу. Крім того, для опису випадкових процесів використовують багатовимірні функції і щільності розподілу. Наприклад, n-вимірна функція розподілу випад-кового процесу ξ(t) визначається співвідношенням:

а багатовимірна щільність

Для випадкових процесів, знаючи їхню одновимірну щільність розподілу, можна, як і для випадкових величин, визначити математичне сподівання і дисперсію, що носять ще назву моментних функцій, тому що вони у загальному випадку залежать від часу (для стаціонарних процесів ці моменти від часу не залежать).

Знаючи двовимірну щільність розподілу імовірностей випадкового процесу ξ(t), можна визначити так звану кореляційну функцію :

де математичне сподівання

Кореляційна функція характеризує степінь лінійної залежності між двома значеннями випадкового процесу ξ(t₁) і ξ(t₂). Через те, що кореляційна функція, як характеристика випадкових процесів, широко використовується на практиці, варто добре вивчити властивості цієї моментної функції. З метою отримання практичних навичок і закріплення матеріалу даної теми необхідно ознайомитися з лабораторною роботою 20 за книгою [13], і лабораторною роботою 19 [14] і по можливості виконати їх, виконати також завдання 1 курсової роботи.