Методичні вказівки

 

Вивчаючи цю тему, необхідно добре засвоїти означення кореляційної і взаємно-кореляційної функцій випадкових процесів і їхні властивості. Слід пам'ятати, що для стаціонарного випадкового процесу кореляційна функція залежить тільки від величини проміжку часу , де і - моменти часу, в яких беруться відповідні значення випадкового процесу і , тобто

Для більшості реальних випадкових сигналів з ростом аргументу τ кореляційна функція R(τ) спадає. Цей факт стає зрозумілим, якщо врахувати, що кореляційна функція характеризує степінь лінійної залежності між відліками випадкового процесу ξ(t) і ξ(t + τ). Чим більше “розсуваються” по вісі часу ці відліки, тим слабшою буде між ними залежність. При τ = 0 кореляційна функція досягає максимального значення і дорівнює дисперсії випадкового процесу.

Взаємна кореляційна функція характеризує степінь лінійної залежності між відліками двох різних випадкових процесів. Для стаціонарних і стаціонарно-зв’язаних випадкових процесів ξ₁(t) і ξ₂(t) взаємна кореляційна функція також залежить лише від різниці t₂ – t₁ = τ. Однак, на відміну від кореляційної функції стаціонарного процесу, яка є симетричною функцією, взаємна кореляційна функція не має цієї властивості, тобто але .

Внаслідок значної нерегулярності окремих реалізацій випадкових процесів вони не є абсолютно інтегрованими, і їхнє представлення в частотній області за допомогою інтеграла Фур'є в класі звичайних функцій, як це робиться для детермінованих сигналів, практично неможливе. Однак перетворення Фур'є вдається цілком успішно застосувати до деяких функцій, які одержують шляхом відповідного усереднення реалізацій. Так, застосувавши перетворення Фур'є до кореляційної функції R(τ) стаціонарного процесу, одержують функцію

(3)

Функція S(ω) є спектральною щільністю потужності стаціонарного випадкового процесу, яку називають енергетичним спектром процесу. Існує і обернене перетворення:

(4)

Пара перетворень (3) і (4) в теорії стаціонарних випадкових процесів складає зміст теореми Вінера-Хінчина, а співвідношення (3) називають формулою Вінера-Хінчина.

Необхідно, з використанням літератури, що рекомендується, вивчити властивості енергетичних спектрів стаціонарних процесів, розглянути на основі поняття енергетичного спектра особливості вузькосмужних і широкосмужних процесів. Варто пам'ятати, що поняття білого шуму з неперервним часом є математичною абстракцією. У природі такого процесу не існує. Це зв'язано з тим, що за означенням білим шумом називають випадковий процес, у якого спектральна щільність потужності S(ω) рівномірна на всіх частотах. Тому гіпотетичний генератор такого процесу повинен мати нескінченну потужність. Кореляційна функція R(τ) випадкового процесу типу білого шуму при будь-яких значеннях τ дорівнює нулю, окрім точки τ = 0. Це значить, що будь-які два значення цього випадкового процесу, як близько вони не розташовані один від одного, є некорельованими.

При теоретичних та практичних дослідженнях реально існуючий випадковий сигнал можна умовно вважати білим шумом у тому випадку, коли ширина його спектра набагато більша (хоч і скінчена) ширини смуги пропускання того кола, на яке діє цей сигнал. У цьому випадку спектр вхідного сигналу буде досить рівномірним у смузі пропускання кола і вхідний сигнал можна замінити еквівалентним йому в даному випадку білим шумом. Це значно спрощує розв’язок різного роду задач статистичного аналізу радіотехнічних кіл.

Для практичного закріплення теоретичних питань варто виконати лабораторну роботу 23 за книгою [13] і лабораторну роботу 20 за книгою [14].