Радіотехнічними колами

Спектрально-кореляційні характеристики випадкового процесу на виході лінійного кола. Дія білого шуму на лінійні кола, шумова смуга. Диференціювання та інтегрування випадкового процесу. Визначення відношення сигнал/шум на виході лінійного кола. Лінійні випадкові процеси. Їх перетворення лінійними радіотехнічними колами.

Література: [1, с. 247 - 256]; [2, с. 60 - 69]; [6, с. 214 - 244]; [8, с. 223 -274]; [22, с. 79 - 92]; [23, с. 186 - 197].

Методичні вказівки

При вивченні цього розділу необхідно згадати основні імовірносні характеристики, що описують випадкові процеси: одновимірні і багатовимірні функції розподілу та щільності розподілу імовірностей випадкового процесу, моментні функції, енергетичний спектр. Задача аналізу проходження випадкових процесів через лінійні радіотехнічні кола так само, як і для нелінійних кіл, зводиться до обчислення імовірнісних характеристик відгуку кола при відомих характеристиках випадкового впливу.

Якщо вдається визначити багатовимірну або, у крайньому випадку, одновимірну щільність розподілу випадкового процесу на виході лінійного кола, то вважається, що задача аналізу вирішена повністю. Однак практично повністю виконати аналіз аналітично вдається лише в окремих випадках, в основному для гауссівських випадкових процесів, тобто для процесів з нормальним розподілом, і для безмежно подільних, тобто таких процесів, що можуть бути представлені у вигляді суми великої кількості інших випадкових процесів, причому кожен доданок повинен вносити досить малий вклад у загальну суму.

Для інших же класів розподілів задача аналізу вирішується в основному в рамках перших двох моментів, тобто визначаються математичне сподівання, кореляційна функція або спектральна щільність потужності відгуку. При цьому можуть використовуватися як часові характеристики кола, наприклад, імпульсна характеристика, так і частотні - частотний коефіцієнт передачі.

Найбільш просто вирішується задача визначення спектрально-кореляційних характеристик відгуку лінійного кола при дії білого шуму. Наприклад, для лінійного кола з постійними параметрами кореляційна функція відгуку при дії білого шуму з точністю до постійного множника збігається зі згорткою імпульсної характеристики кола, а енергетичний спектр відгуку пропорційний квадратові модуля частотної характеристики лінійного кола.

При вивченні питань, пов'язаних з диференціюванням і інтегруванням випадкових процесів, варто звернути увагу на визначення збіжності послідовності випадкових величин. У теорії імовірностей розглядається декілька видів збіжності. У статистичній радіотехніці найчастіше використовують збіжність у середньоквадратичному, тобто послідовність випадкових величин {ξ_n} сходиться до випадкової величини ξ у середньо-квадратичному, якщо

Необхідно пам'ятати, що не всякий випадковий процес може бути продиференційований у звичайному розумінні. Диференціальні властивості випадкового процесу визначаються характером його кореляційної функції. Варто розібратися з фізичним змістом тих змін параметрів випадкових сигналів, що відбуваються при їх диференціюванні та інтегруванні.

При дії гауссівського випадкового процесу на лінійне коло на виході знову одержуємо гауссівський процес. Якщо ж на вхід лінійного кола подати процес з негауссівським розподілом, то тип розподілу процесу на виході не зберігається. Однак, якщо коло є стаціонарним і вузьксмужним, тобто імпульсна характеристика його досить повільно змінюється у часі, то функція розподілу відгуку на виході такого кола буде близька до нормального. І тим ближче, чим більш вузькосмужне коло. Це питання добре висвітлено в книзі [9, с. 592 – 600].

До поняття лінійного випадкового процесу в найпростішому випадку можна прийти наступним чином. Нехай задана деяка лінійна система своєю імпульсною характеристикою h(τ, t), що задовольняє умовам фізичної реалізуємості. Якщо на вході такої системи діє сигнал γ(t), , то відгук ξ(t) такої системи при нульових початкових умовах у момент часу t може бути представлений у вигляді

Або, з огляду на фізичну реалізуємість системи, тобто h(τ, t) = 0 при t < τ, можемо переписати останнє співвідношення у вигляді

(5)

Нехай тепер вплив γ(τ) являє собою випадковий процес типу білого шуму

(6)

де - випадковий процес з незалежними приростами. Означення та властивості процесів з незалежними приростами коротко розглянуті в [20, с. 131, 138 - 143].

Якщо підставити (6) у праву частину (5), то одержимо

(7)

Випадковий процес, що може бути представлений співвідношенням (7), називається лінійним випадковим процесом. Функція h(τ, t) носить назву ядра представлення. У загальному випадку функція h(τ, t) у представленні лінійного випадкового процесу не обов'язково представляє собою імпульсну характеристику системи. Це може бути будь-яка невипадкова функція h(τ, t) що задовольняє при кожному умові

Для стаціонарного лінійного випадкового процесу ядро представлення (7) залежить від різниці аргументів , тобто

Характерною властивістю лінійних процесів є їхня замкнутість відносно лінійних перетворень. Це означає, що після лінійного перетворення процесу (7) одержимо процес, що має таке ж представлення виду (7) з тим же породжуючим процесом Змінюється лише ядро представлення. Наприклад, якщо процес виду (7) перетворюється лінійним пристроєм з імпульсною характеристикою , що задовольняє умовам фізичної реалізуємості, то на виході отримаємо відгук

,

де , представляє собою ядро лінійного випадкового процесу на виході лінійного пристрою.

Для лінійних процесів можуть бути легко обчислені моментні функції [22], якщо відомо ядро представлення (7) і семіінваріанти [див. 9, с. 55] випадкової величини . Наприклад, математичне сподівання процесу (7)

а кореляційна функція

 

де і = 1, 2 - семіінваріанти першого і другого порядків випадкової величини