Метод Ритца

Метод Ритца представляет собой один из методов построения минимизирующей последовательности для функционала.

Решение уравнения

, (6)

где А — положительный оператор, сводится к нахождению минимума функционала

, (7)

где скалярное произведение

. (8)

Эту последнюю задачу будем приближенно решать следующим образом. Выберем последовательность

, (9)

координатных функций, принадлежащих области определения оператора D_A; подчиним эту последовательность двум условиям:

1. последовательность (9) полна по энергии;

2. при любом n функции линейно независимы.

Построим линейную комбинацию первых n координатных функций

(10)

с произвольными численными коэффициентами a_j. Подставим u_n(P) вместо u(P) в функционал (7); это превратит F(u) в функцию n независимых переменных a₁, a₂, …, a_n:

. (11)

Выберем коэффициенты a_j так, чтобы функция (11) приняла минимальное значение. Функция (11) достигает минимума при тех значениях независимых переменных, которые обращают в нуль ее первые производные:

. (12)

Уравнения (12) дают, как известно, необходимые условия минимума F(u_n). Однако, используя положительность оператора A, можно доказать, что коэффициенты a_j, удовлетворяющие системе (12), реализуют минимум величины F(u_n).

Соотношения (12) представляют собой систему линейных алгебраических уравнений

. (13)

Определитель системы (13) есть определитель Грамма линейно независимых функций и потому отличен от нуля. Отсюда следует, что система уравнений Ритца всегда разрешима, если оператор А — положительный.

Найдя коэффициенты a₁, a₂, …, a_n и подставив их в (10), получим функцию u_n(P), которую будем называть приближенным решением уравнения (6) по Ритцу.