Реферат Курсовая Конспект
Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа - раздел Связь, ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ Перечислим Основные Краевые Задачи, Связанные С Уравнениями Пуассона И Лаплас...
|
Перечислим основные краевые задачи, связанные с уравнениями Пуассона и Лапласа, и их вариационные формулировки.
Первая краевая задача или задача Дирихле для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона
, (14)
и краевому условию
(15)
на границе S области Ω. Здесь Ω — некоторая конечная m-мерная область (можно считать m = 2 или m =3). Областью определения оператора Лапласа является линейное множество функций, которые непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области и которые равны нулю на S.
Сформулированная задача Дирихле равносильна задаче о минимуме функционала
. (16)
Вторая краевая задача или задача Неймана для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона (14) и краевому условию
(17)
на границе S области Ω (n — внешняя нормаль к поверхности S). Здесь областью определения оператора Лапласа является линейное множество функций, которые непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области ; удовлетворяют краевому условию (17) и удовлетворяют условию
. (18)
Условие (18) необходимо для единственности решения. Отметим, что для разрешимости задачи Неймана необходимо, чтобы
. (19)
Сформулированная задача Неймана равносильна задаче о минимуме функционала (16).
Краевое условие (17) — естественное, поэтому нет нужды ему удовлетворять заранее, отыскивая минимум функционала (16).
Третья краевая задача для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона (14) и краевому условию
(20)
на границе S области Ω. Здесь областью определения оператора Лапласа является линейное множество функций, которые непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области и которые удовлетворяют краевому условию (20).
Сформулированная третья краевая задача равносильна задаче о минимуме функционала
. (21)
Краевое условие (20) – естественное.
Часто приходится решать уравнение Лапласа с сопутствующим ему неоднородным краевым условием. Приведем формулировки основных задач в этом случае.
Интегрирование уравнения Лапласа в области Ω при краевом условии (задача Дирихле)
(22)
приводит к отысканию минимума функционала
(23)
на множестве функций, удовлетворяющих условию (22); если краевое условие имеет вид (задача Неймана)
, (24)
то задача сводится к отысканию минимума функционала
(25)
на множестве функций, которые никаким краевым условиям не подчинены. Добавим к этому, что в случае краевого условия смешанного типа (третья краевая задача)
, (26)
соответствующий функционал имеет вид
. (27)
– Конец работы –
Эта тема принадлежит разделу:
ФЕДЕРАЛЬНОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ... САНКТ ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ВОДНЫХ КОММУНИКАЦИЙ...
Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа
Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:
Твитнуть |
Новости и инфо для студентов