рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа

Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа - раздел Связь, Водных коммуникаций Перечислим Основные Краевые Задачи, Связанные С Уравнениями Пуассона И Лаплас...

Перечислим основные краевые задачи, связанные с уравнениями Пуассона и Лапласа, и их вариационные формулировки.

Первая краевая задача или задача Дирихле для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона

, (14)

и краевому условию

(15)

на границе S области . Здесь — некоторая конечная m-мерная область (можно считать m = 2 или m =3). Областью определения оператора Лапласа является линейное множество функций, которые непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области и которые равны нулю на S.

Сформулированная задача Дирихле равносильна задаче о минимуме функционала

. (16)

Вторая краевая задача или задача Неймана для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона (14) и краевому условию

(17)

на границе S области (n — внешняя нормаль к поверхности S). Здесь областью определения оператора Лапласа является линейное множество функций, которые непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области ; удовлетворяют краевому условию (17) и удовлетворяют условию

. (18)

Условие (18) необходимо для единственности решения. Отметим, что для разрешимости задачи Неймана необходимо, чтобы

. (19)

Сформулированная задача Неймана равносильна задаче о минимуме функционала (16).

Краевое условие (17) — естественное, поэтому нет нужды ему удовлетворять заранее, отыскивая минимум функционала (16).

Третья краевая задача для уравнения Пуассона состоит в отыскании непрерывной функции, удовлетворяющей уравнению Пуассона (14) и краевому условию

(20)

на границе S области . Здесь областью определения оператора Лапласа является линейное множество функций, которые непрерывны вместе со своими первыми и вторыми производными в замкнутой области и которые удовлетворяют краевому условию (20).

Сформулированная третья краевая задача равносильна задаче о минимуме функционала

. (21)

Краевое условие (20) – естественное.

Часто приходится решать уравнение Лапласа с сопутствующим ему неоднородным краевым условием. Приведем формулировки основных задач в этом случае.

Интегрирование уравнения Лапласа в области при краевом условии (задача Дирихле)

(22)

приводит к отысканию минимума функционала

(23)

на множестве функций, удовлетворяющих условию (22); если краевое условие имеет вид (задача Неймана)

, (24)

то задача сводится к отысканию минимума функционала

(25)

на множестве функций, которые никаким краевым условиям не подчинены. Добавим к этому, что в случае краевого условия смешанного типа (третья краевая задача)

, (26)

соответствующий функционал имеет вид

. (27)

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Водных коммуникаций

Федеральное бюджетное образовательное учреждение высшего Профессионального Образования.. Санкт-Петербургский государственный университет водных коммуникаций..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Основные краевые задачи для уравнений Пуассона и Лапласа

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Общие указания
По дисциплине "Вариационные методы в математической физике" студенты выполняют одну курсовую работу. Для выполнения работы необходимо использовать какие-либо программы символьных

Решение вариационной задачи, функционал которой представляется кратным интегралом
Ход рассуждений для определённого, двойного и тройного интегралов одинаков. Приведём эти рассуждения для двойного интеграла (рис. 1). Рассмотрим функционал

Конечно-разностный метод Эйлера
Пусть дана простейшая вариационная задача: найти экстремум функционала (8) с заданными граничными условиями:

Метод Ритца
Метод Ритца представляет собой один из методов построения минимизирующей последовательности для функционала. Решение уравнения

Метод Бубнова–Галеркина
Метод Бубнова–Галеркина можно рассматривать как обобщение метода Ритца для уравнений вида (6), где оператор А не обязательно положительный. Пусть неизвестная функция u(P

О координатных функциях
Применение приближенных методов требует предварительного выбора системы координатных функций. От удачного или не удачного выбора такой системы зависит успех приближенного метода. Выскажем некоторые

For i from i0 to N do
var:=var union {a[i]}: eq[i]:=diff(Fu,a[i])=0: eqns:=eqns union {eq[i]}: od: res:=sol

For k to N-1 do
var:=`union`(var,{Y[k]}): eqns := `union`(eqns, {eq[k]}): end do: nops(var); nops(eqns);

For j from 1 to N do
var:=var union {a[i,j]}: eq[i,j]:=diff(Fu,a[i,j])=0: eqns:=eqns union {eq[i,j]}: od:

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги