О координатных функциях

Применение приближенных методов требует предварительного выбора системы координатных функций. От удачного или не удачного выбора такой системы зависит успех приближенного метода. Выскажем некоторые соображения, которые могут быть полезны на практике [3]:

Система функций (x – a)^m(b – x)^mx^k полна по энергии оператора

при краевых условиях u^(k)(a) = u^(k)(b) = 0, k = 0,1,2,…,(m – 1).

Пусть в некоторой области Ω рассматривается задача Дирихле для уравнения Пуассона при условии, что на границе S области Ω искомая функция равна нулю.

Полную по энергии систему координатных функций можно построить таким образом. Пусть w(x,y) — функция, равная нулю в точках границы S и положительная во внутренних точках области Ω; примем еще, что эта функция непрерывна в замкнутой области , а ее первые производные непрерывны и ограничены внутри Ω. Тогда система функций w(x,y)x^ky^l, k,l = 1,2,… полна по энергии в Ω.