рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Энергетические спектры сигналов [1].

Энергетические спектры сигналов [1]. - раздел Связь, Введение в теорию сигналов и систем Скалярное Произведение Сигналов. Энергия Суммы Дв...

Скалярное произведение сигналов. Энергия суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t) определяется выражением:

E =[u(t)+v(t)]2 dt = Eu + Ev + 2u(t)v(t) dt. (5.2.1)

Как следует из этого выражения, энергии сигналов, в отличие от самих сигналов, в общем случае не обладают свойством аддитивности. Энергия суммарного сигнала u(t)+v(t), кроме суммы энергий составляющих сигналов, содержит в себе и так называемую энергию взаимодействия сигналов или взаимную энергию:

Euv = 2u(t)v(t) dt. (5.2.2)

Интеграл выражения (5.2.2) для двух вещественных сигналов является фундаментальной характеристикой, пропорциональной взаимной энергии сигналов. Его называют скалярным произведением сигналов:

Пuv = áu(t), v(t)ñ =u(t)v(t) dt = ||u||×||v|| cos j, (5.2.3)

Скалярное произведение обладает следующими свойствами:

5. áu, vñ ³ 0;

6. áu, vñ = áv, uñ;

7. áau, vñ = aáu, vñ, где а – вещественное число;

8. áu+v, añ = áu, añ + áv, añ.

Линейное пространство сигналов с таким скалярным произведением называется гильбертовым пространством Н. С учетом того, что cos j £ 1, в гильбертовом пространстве справедливо неравенство Коши-Буняковского:

uv| £ ||u||×||v||. (5.2.4)

Для комплексного гильбертова пространства скалярное произведение также представляет собой вещественное число и вычисляется по формуле:

Пuv =u(t)v*(t) dt ºu*(t)v(t) dt. (5.2.3')

Из выражения (5.2.3) следует, что косинус угла между сигналами:

cos j = Пuv/(||u||×||v||). (5.2.5)

При полной тождественности сигналов (равенстве амплитуд и временных координат) имеем j = 0, cos j = 1, и скалярное произведение становится равным энергии сигналов:

Пuv = u(t)2 dt ºv(t)2 dt º ||u||2 º ||v||2 .

Дискретные сигналы обычно рассматриваются в пространстве Евклида (обозначение пространства - R2). Скалярное произведение двух сигналов в пространстве Евклида:

Пuv = (uk,vk) =ukvk,

где n - размерность пространства.

Взаимный энергетический спектр. Из очевидной однозначности энергии взаимодействия сигналов независимо от формы их математического представления (в динамической и частотной модели) следует выражение для скалярного произведения произвольных вещественных сигналов u(t) и v(t) через спектральные плотности сигналов U(w) и V(w) в комплексном гильбертовом пространстве:

Пuv = (1/2p)U(w)V*(w) dw º (1/2p)U*(w)V(w) dw. (5.2.6)

Функции

Wuv(w) = U(w)V*(w), Wvu(w) = U*(w)V(w), Wuv(w) = Wvu*(w), (5.2.7)

для которых справедливо выражение (5.2.6), называется взаимными энергетическими спектрами вещественных сигналов, и являются функциями распределения плотности энергии взаимодействия сигналов (мощности взаимодействия) по частоте.

В общем случае, за исключением спектров четных функций, взаимные энергетические спектры также являются комплексными функциями:

U(w) = Au(w) + j Bu(w), V(w) = Av(w) + j Bv(w).

Wuv = AuAv+BuBv+j (BuAv - AuBv) = Re Wuv(w) + j Im Wuv(w). (5.2.7')

С учетом четности реальной части и нечетности мнимой части энергетических спектров, интеграл мнимой части выражения (5.2.7') равен нулю, а, следовательно, скалярное произведение сигналов всегда является вещественным и неотрицательным, как и энергия сигналов:

Пuv = (1/2p)Wuv(w) dw º (1/p)Re Wuv(w) dw. (5.2.8)

Рис. 5.2.1. Форма и энергетические спектры сигналов.

На рис. 5.2.1 приведена форма двух одинаковых сдвинутых во времени и частично перекрывающихся лапласовских импульсов u(t) и v(t), а также суммарный импульс z(t)=u(t)+v(t). Плотности энергии сигналов W(f) приведены в относительных единицах плотности энергии суммарного сигнала Wz(f) на нулевой частоте.

Как видно из графиков, плотности энергии сигналов являются вещественными неотрицательными функциями и содержат только реальные части. В отличие от них, плотность взаимной энергии сигналов является комплексной функцией, при этом модуль плотности по своим значениям на шкале частот соизмерим со средними значениями плотности энергии сигналов на этих частотах и не зависит от их взаимного расположения на временной оси. Для сигналов, одинаковых по форме, модуль взаимной плотности равен значениям плотности энергии сигналов.

Рис. 5.2.2. Взаимные энергетические спектры сигналов.

На рис. 5.2.2 приведены плотности взаимной энергии тех же сигналов при разной величине временного сдвига Dt между сигналами. Однако при постоянном значении модуля взаимной энергии сигналов действительная и мнимая функции спектра мощности существенно изменяются при изменении сдвига между сигналами. При незначительной величине временного перекрытия сигналов частота осцилляций реальной и мнимой части плотности взаимной энергии достаточно велика, а относительный коэффициент затухания колебаний (уменьшение амплитудных значений от периода к периоду) достаточно мал. Соответственно, при вычислении скалярного произведения по формуле (5.2.8) положительные амплитудные значения осцилляций Re(Wuv) практически полностью компенсируются отрицательными значениями и результирующий интеграл, а равно и энергия взаимодействия сигналов (удвоенное значение скалярного произведения), близка к нулевой (стремится к нулю по мере увеличения сдвига между сигналами).

При увеличении степени взаимного перекрытия сигналов частота осцилляций плотности взаимной энергии уменьшается (Dt = 50 mkc на рис. 5.2.2) и основным по энергии реальной части спектра становится центральный низкочастотный пик, площадь которого не компенсируется площадью последующей отрицательной полуволны осцилляции. Соответственно, возрастает и энергия взаимодействия сигналов. При полном перекрытии сигналов (при нулевом фазовом угле между сигналами) осцилляции исчезают, и энергия взаимодействия сигналов максимальна.

Энергетический спектр сигнала.Если функция s(t) имеет фурье-образ S(w), то плотность мощности сигнала (спектральная плотность энергии сигнала) определяется выражением:

w(t) = s(t)s*(t) = |s(t)|2 Û |S(w)|2 = S(w)S*(w) = W(w). (5.2.9)

Спектр мощности W(w) - вещественная неотрицательная четная функция, которую обычно называют энергетическим спектром. Спектр мощности, как квадрат модуля спектральной плотности сигнала, не содержит фазовой информации о его частотных составляющих, а, следовательно, восстановление сигнала по спектру мощности невозможно. Это означает также, что сигналы с различными фазовыми характеристиками могут иметь одинаковые спектры мощности. В частности, сдвиг сигнала не отражается на его спектре мощности. Последнее позволяет получить выражение для энергетического спектра непосредственно из выражений (5.2.7). В пределе, для одинаковых сигналов u(t) и v(t) при сдвиге Dt Þ 0, мнимая часть спектра Wuv(w) стремится к нулевым значениям, а реальная часть – к значениям модуля спектра. При полном временном совмещении сигналов имеем:

Wuv(w) = U(w)V*(w) = U(w)U*(w) = |U(w)|2 = Wu(w). (5.2.10)

Соответственно, полная энергия сигнала:

Еu =u(t)2dt = (1/2p)Wu(t)dt = (1/2p)|U(w)|2 dw, (5.2.11)

т.е. энергия сигнала равна интегралу квадрата модуля его частотного спектра - сумме энергии его частотных составляющих, и всегда является вещественной величиной.

Для произвольного сигнала s(t) равенство

|s(t)|2 dt =|S(f)|2 df

обычно называют равенством Парсеваля (в математике – теоремой Планшереля, в физике – формулой Релея). Равенство очевидно, так как координатное и частотное представления по существу только разные математические отображения одного и того же сигнала. Аналогично для энергии взаимодействия двух сигналов:

u(t) v*(t) dt =U(f) V*(f) df.

Из равенства Парсеваля следует инвариантность скалярного произведения сигналов и нормы относительно преобразования Фурье:

áu(t), v(t)ñ = áU(f),V(f)ñ, ||s(t)||2 = ||S(f)||2.

В целом ряде чисто практических задач регистрации и передачи сигналов энергетический спектр сигнала имеет весьма существенное значение.

Периодические сигналы переводятся в спектральную область в виде рядов Фурье. Запишем периодический сигнал с периодом Т в виде ряда Фурье в комплексной форме:

s(t) =Sk exp(j2pkt/T),

и вычислим среднюю мощность сигнала за один период:

WT = (1/T)s2(t) dt = (1/T)Sk Smexp(j2p(k+m)t/T) dt.

Интервал 0-Т содержит целое число периодов всех подынтегральных экспонент, и равен нулю, за исключением экспоненты при k = -m, для которой интеграл равен Т. Соответственно, средняя мощность периодического сигнала равна сумме квадратов модулей коэффициентов его ряда Фурье:

WT =|Sk|2.

Рис. 5.2.3. Энергетический спектр прямоугольного импульса.

Как правило, спектры сигналов с крутыми фронтами (например, кодовых сигналов при передаче цифровых данных) являются многолепестковыми с постепенным затуханием энергии в последовательных лепестках. Пример нормированного энергетического спектра прямоугольного импульса длительностью tи приведен на рис. 5.2.3. Спектры выполнены в линейном (сплошная линия) и логарифмическом (пунктир) масштабе по оси значений. Для четкого разделения лепестков функции спектров приведены по безразмерной частотной переменной f×tи.

Интегрированием энергетического спектра по интервалам лепестков спектра нетрудно вычислить, что в пределах первого лепестка сосредоточено 90.2% энергии всего сигнала, в пределах второго – 4.8%, в пределах третьего – 1.7%, и т.д. Если форма сигналов в пункте их приема (детектирования) существенного значения не имеет, а регистрация сигналов идет на уровне статистических шумов, равномерно распределенных по всему частотному диапазону, то такие сигналы целесообразно пропускать через фильтр нижних частот с выделением только первого энергетического лепестка сигнала. Естественно, что при этом фронты регистрируемого сигнала будут сглажены. Но при расширении полосы пропускания фильтра на два или три лепестка энергия принимаемого сигнала будет увеличена соответственно на 4.8 или 6.5%, в то время как энергия шумов в 2 или 3 раза.

 

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Введение в теорию сигналов и систем

Тематика практических работ введение в теорию сигналов.. Содержание.. Общие сведения и понятия..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Энергетические спектры сигналов [1].

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Работы выполняются на компьютерах по типовым программам с заданием индивидуальных параметров моделирования, расчетов и обработки данных для каждого студента группы.

Пространство сигналов [1,3,16,29].
Важнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключается в том, что их линейные комбинации также являются аналоговыми или дискретными сигналами. Линейные комбинации цифровых сигналов, в силу

Мощность и энергия сигналов [1, 3, 16].
Понятия мощности и энергиив теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отража

Пространства функций [1,3,11,16,29].
Пространства функций можно считать обобщением пространства N-мерных сигналов – векторов на аналоговые сигналы, как бесконечномерные векторы, с некоторыми чисто практическими уточнениями.

Функции корреляции сигналов [1, 25, 29].
Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом. Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов

Математическое описание шумов и помех [1, 30].
Шумы и помехи (noise). При детектировании сигналов в сумме с основным информационным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы - шумы и помехи самой различ

Разложение сигналов по единичным импульсам [1, 11].
Единичные импульсы. В качестве математической модели единичного импульса при анализе аналоговых сигналов используют дельта-функцию. Дельта-функция

Свертка (конволюция) сигналов [1, 11].
Интеграл Дюамеляпозволяет определять реакцию системы на воздействие s(t) в текущем времени по ее переходной функции g(t) на единичный скачок входного воздействия:

Мощность и энергия сигналов [1,3,16].
Частотное представление применяется не только для спектрального анализа сигналов, но и для упрощения вычислений энергии сигналов и их корреляционных характеристик. Как уже рассматривалось

Автокорреляционные функции сигналов [1,25].
Понятие автокорреляционных функций сигналов. Автокорреляционная функция (АКФ, CF - correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной инте

Взаимные корреляционные функции сигналов [1,19].
Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположени

Спектральные плотности корреляционных функций [1,25].
Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений. В соответствии с выражением (6.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного

Задачи дискретизации функций [10, 21].
Сигналы и системы дискретного времени. Значения дискретного сигнала определены только при дискретных значениях времени или любой другой независимой переменной. Обычно ег

Равномерная дискретизация [16,21].
Спектр дискретного сигнала. Допустим, что для обработки задается произвольный аналоговый сигнал s(t), имеющий конечный и достаточно компактный фурье-образ S(f). Равномер

Курсовая работа 1 – Исследование и разработка основных правил ограничения интервала суммирования при интерполяции данных рядом Котельникова-Шеннона.
Рис. 7.2.9. Интерполяция по Котельникову-Шеннону. Ряд (7.2.7) позволяет простым введе

Дискретизация по критерию наибольшего отклонения [10].
Задача абсолютно точного восстановления сигнала на практике обычно не ставится, в отличие от задачи минимального физического объема информации, при котором сохраняется возможность ее восстановления

Адаптивная дискретизация [10].
Частота равномерной дискретизации информации рассчитывается по предельным значениям частотных характеристик сигналов. Адаптивная дискретизация ориентирована на динамические характеристики сигнала,

Курсовая работа 2 – Исследовать и разработать программу оценки спектра дискретного сигнала при неравномерном шаге дискретизации.
Самыми простыми способами восстановления сигналов при адаптивной дискретизации являются линейная и квадратичная интерполяции, которые выполняются по уравнениям: f(x)лин = а

Квантование сигналов [5,21].
Дискретизация аналоговых сигналов с преобразованием в цифровую форму связана с квантованием сигналов. Сущность квантования состоит в замене несчетного множества возможных значений функции, в общем

Децимация и интерполяция данных [4,5,17].
Децимацией (прореживанием, сокращением) цифровых данных принято называть уплотнение данных с удалением избыточной информации. Последнее имеет место, если шаг дискретизации данных был установлен изл

Преобразование Фурье [5,17,21].
Дискретное преобразование Фурьеможет быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, fn = nDf):

Преобразование Лапласа.
Дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ), как и ДПФ, может быть получено из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, wn = nDw): Y(p) =

Z - преобразование сигналов [2,13,21].
Определение преобразования. Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Произвольной непр

Дискретная свертка (конволюция) [5,17,21].
Свертка – основной процесс в цифровой обработке сигналов. Поэтому важно уметь эффективно ее вычислять. Уравнение дискретной свертки двух функций (сигналов) може

Случайные процессы и функции [1, 2, 25].
Случайный процесс описывается статистическими характеристиками, называемыми моментами. Важнейшими характеристиками случайного процесса являются его стационарность, эргодичность и спектр мощности.

Функции спектральной плотности [2,25,26].
Каноническое разложение случайных функций. Введем понятие простейшей случайной функции, которая определяется выражением: X(t) = X×j(t), (9.2.1)

Преобразования случайных функций [1, 26, 27].
Системы преобразования случайных функций.Пусть имеется система преобразования с одним входом, на который поступает (подается) входная случайная функция X(t) - функция

Модели случайных сигналов и помех [2, 28].
Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовый случайный процесс, гауссовый шум.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги