рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Равномерная дискретизация

Равномерная дискретизация - раздел Связь, Введение в теорию сигналов и систем Спектр Дискретного Сигнала. Допустим, Что Для Обр...

Спектр дискретного сигнала. Допустим, что для обработки задается произвольный аналоговый сигнал s(t), имеющий конечный и достаточно компактный фурье-образ S(f). Равномерная дискретизация непрерывного сигнала s(t) с частотой F (шаг Dt = 1/F) с математических позиций означает умножение функции s(t) на гребневую функцию ШDt(t) =d(t-kDt) – непрерывную последовательность импульсов Кронекера:

sDt(t) = s(t)×ШDt(t) = s(t)d(t-kDt) =s(kDt)d(t-kDt). (7.2.1)

С учетом известного преобразования Фурье гребневой функции

ШDt(t) Û (1/T)d(f-nF) = F·ШF(f), (7.2.2)

фурье-образ дискретной функции sDt(t):

SF(f) = S(f) * F×ШF(f). (7.2.3)

Отсюда, для спектра дискретного сигнала имеем:

SF(f) = F×S(f) *d(f-nF) = FS(f-nF). (7.2.4)

Из выражения следует, что спектр дискретного сигнала представляет собой непрерывную периодическую функцию с периодом F, совпадающую (при определенных условиях конечности спектра непрерывного сигнала) с функцией F×S(f) непрерывного сигнала s(t) в пределах центрального периода от -fN до fN, где fN = 1/2Dt = F/2. Частоту fN (или для круговой частоты wN = p/Dt) называют частотой Найквиста. Центральный период функции SF(f) называют главным частотным диапазоном.

Интуитивно понятно, что если спектр главного частотного диапазона с точностью до постоянного множителя совпадает со спектром непрерывного сигнала, то по этому спектру может быть восстановлена не только форма дискретного сигнала, но и форма исходного непрерывного сигнала. При этом шаг дискретизации и соответствующее ему значение частоты Найквиста должны иметь определяющее значение.

Как правило, шаг дискретизации сигнала (шаг числовых массивов) условно принимают равным Dt = 1, при этом главный частотный диапазон занимает интервал -0.5 £ f £ 0.5, или, в шкале угловых частот, соответственно -p £ w £ p.

Физическая сущность формирования спектров дискретных сигналов достаточно проста. Наиболее наглядно это можно увидеть, если воспользоваться программой Mathcad (см. рис. 7.2.1).

Рис. 7.2.1. Формирование спектра дискретного сигнала.

Сначала представим себе непрерывный сигнал постоянной единичной амплитуды c(t) = const = 1 на произвольном интервале 0-Т, например, при Т=100. Начнем дискретизировать сигнал с равномерным шагом Dt=1. Вычислим спектр первого дискретного отсчета c0 = 1. При N=1 сигнал является импульсом Кронекера, а, соответственно, модуль спектра отсчета с0=1 представляет собой непрерывное частотное распределение |С(w)| = const в диапазоне от -¥ до +¥ (показан только участок от -6p до +6p с нормировкой на N для наглядности сравнения спектров). Все частоты сигнала имеют нулевую фазу и при сложении взаимно компенсируются во всех временных точках за исключением точки t=0, в которой амплитуды частот суммируются, создавая единичный отсчет с0.

Добавим к сигналу второй дискретный отсчет с1=1 (N=2). Если вычислить спектр только второго отсчета, то его модуль будет равен модулю первого отсчета (так как с10), но нулевые фазы гармоник этого спектра переместятся в точку t=1, т.е. относительно точки t=0 фазы гармоник второго отсчета изменятся на -wDt в соответствии с теоремой запаздывания преобразования Фурье. При сложении этих двух спектров первого и второго отсчета наблюдается интерференция частот и возникают пульсации частотного спектра с максимумами на частотах, кратных F=1/Dt или в угловых единицах 2p/Dt, где фазы спектров первого и второго отсчетов совпадают и равны нулю. Форма модуля результирующего спектра при N=2 приведена на рисунке.

При дальнейшем увеличении количества отсчетов периодичность совпадения нулевых фаз и положения максимумов сохраняется, а интерференция частот между максимумами усложняется, при этом ширина главных пиков по всему частотному диапазону спектра от минус до плюс бесконечности становится все уже. На рис. 7.2.1 приведены примеры спектров сигналов при N=10 и N=50. В пределе, при двусторонней временной шкале ±Т® ±¥ и N® ¥, гребневая функция из импульсов Кронекера во временной области ct ® ШDt(t) =d(t-kDt) превращается в идеальную гребневую функцию (1/T)d(f-nF) = F·ШF(f) в частотной области (формула 7.2.2). Этот спектр непрерывен и физически реален в диапазоне частот от -¥ до +¥.

Физический смысл интерференции частот остается тем же самым, если мы на произвольном интервале Т зададим произвольный сигнал, например – синусоиду u(t) Û U(f), и выполним его дискретизацию, т.е. умножим сигнал на непрерывную последовательность импульсов Кронекера c(t)×u(t) ® u(t)d(t-kDt) = u(t)× ШDt(t). А так как каждый дискретный отсчет в этом случае имеет свою определенную амплитуду и, соответственно, свой уровень амплитуд гармоник своего спектра, то сложение частот дает более сложную картину интерференции с расщеплением спектра общего сигнала всех дискретных отсчетов на две зеркальных составляющих относительно кратных частот 2p/Dt.

Рис. 7.2.2. Формирование спектра дискретного сигнала.

Математически произведение двух функций во временной области отображается сверткой спектров этих функций в частотном представлении, т.е. сверткой спектра сигнала u(t) с частотной гребневой функцией спектра, порожденной временной гребневой функцией дискретизации u(t)ШDt(t) Û U(f) * F×ШF(f), откуда и следует формула (7.2.4). Пример дискретизации одного периода синусоиды приведен на рис. 7.2.2.

Вернемся к значению и роли частоты Найквиста при дискретизации сигналов.

На рис. 7.2.3 и 7.2.4. приведены примеры равномерной дискретизации аналоговых сигналов s1(t) = exp(-a|t|) и s2(t) = exp(-bt2) (дискретные отсчеты нанесены кружками) и спектры этих дискретных сигналов.

Рис. 7.2.3. Дискретные сигналы. Рис. 7.2.4. Спектры дискретных сигналов.

Для того чтобы периодическое повторение спектра, вызванное дискретизацией аналогового сигнала, не изменяло спектр в главном частотном диапазоне (по отношению к спектру исходного аналогового сигнала), необходимо и достаточно, чтобы максимальные частотные составляющие fmax в спектре аналогового сигнала не превышали частоты Найквиста (fmax £ fN = F/2). Это означает, что частота дискретизации сигнала должна быть минимум в два раза выше максимальной частотной составляющей в спектре сигнала:

F = 1/Dt ³ 2fmax, (7.2.5)

что обеспечивает выход спектра на нулевые значения на концах главного диапазона, как это имеет место для спектра S2(w) на рис. 7.2.4.

Другими словами, на одном периоде колебаний с частотой fmax должно быть минимум две точки отсчета. Это и понятно – по одной точке отсчета на периоде гармонического сигнала определение неизвестных параметров данной гармоники (амплитуда, фаза) невозможно.

Если условие (7.2.5) нарушается, искажения частотного спектра исходного аналогового сигнала неизбежны. На рис. 7.2.4 наглядно видно, что частота дискретизации для сигнала s1(t) данному условию не удовлетворяет, спектры периодов перекрылись, и результирующий спектр дискретных отсчетов сигнала s1(t) отличается от фактического спектра сигнала (фактический спектр и его периодические повторения в области перекрытия спектра главного частотного диапазона со спектрами боковых диапазонов показаны пунктиром). Аналоговый сигнал из спектра S1(w) будет восстановлен с искажениями.

Характер возникающих искажений во временной области при нарушении условия (7.2.5) можно наглядно видеть на рис. 7.2.5. На рисунке показаны три возможных варианта соотношения частот гармонических сигналов с постоянной частотой их дискретизации.

1. График А – частота гармонического сигнала меньше частоты Найквиста. Дискретным отсчетам может соответствовать только исходная гармоника, амплитуда, частота и фаза которой могут быть однозначно определены по любым трем последовательным точкам (три уравнения, три неизвестных).

2. График В – частота гармонического сигнала равна частоте Найквиста. Это означает периодическое повторение каждой пары последовательных отсчетов, а, следовательно, для решения имеется только два уравнения с тремя неизвестными с возможностью определения только частоты, и то при условии, что начальная фаза сигнала не совпадает с начальной фазой частоты дискретизации (в этом случае все отсчеты нулевые). Амплитуда и фаза сигнала определяются однозначно только при условии совпадения отсчетов с экстремумами гармоники.

Рис. 7.2.5. Дискретизация гармоник с разной частотой.

3. График С – частота гармонического сигнала больше частоты Найквиста. Решение трех уравнений по трем последовательным точкам позволяет определить амплитуду гармоники, но дает искаженные значения частоты и фазы колебания (показано пунктиром). Это так называемый эффект появления ложных (кажущихся) частот (aliasing). Частоты гармонических колебаний выше частоты Найквиста как бы зеркально "отражаются" в главный частотный диапазон от его границ (на частоте Найквиста), что можно видеть на рис. 7.2.4 для действительного спектра сигнала S1(w), показанного точками. Этот эффект аналогичен всем известному эффекту обратного вращения колес автомобиля (и любых других быстро вращающихся объектов) на экранах кино и телевизоров, когда скорость их вращения начинает превышать частоту смены кадров.

Интерполяционный ряд Котельникова-Шеннона.Спектр дискретизированного сигнала (7.2.4) представляет собой сумму сдвинутых копий исходного аналогового сигнала с шагом сдвига, равным частоте дискретизации. Очевидно, что если спектры копий не перекрываются, то по центральной копии дискретного спектра можно восстановить исходный аналоговый сигнал с абсолютной точностью. Умножая функцию (7.2.3) на прямоугольную весовую функцию ПF(f), равную 1 в пределах главного частотного диапазона [-F/2,F/2] и нулю за его пределами, получаем непрерывный спектр в бесконечных по частоте границах, равный спектру F×S(f) в пределах главного частотного диапазона:

F×S(f) = F×[S(f) * ШF(f)]×ПF(f). (7.2.6)

Обратное преобразование Фурье такого спектра должно давать конечный и непрерывный сигнал. Произведем обратное преобразование обеих частей равенства (7.2.6):

F·[S(f) * ШF(f)] Û sDt(t), ПF(f) Û F×sinc(pFt).

F×s(t) = sDt(t) * F×sinc(pFt).

s(t) = sinc(pFt) *s(kDt)d(t-kDt),

Дискретизированный сигнал sDt(t) =s(kDt)d(t-kDt) представляет собой сумму последовательных весовых импульсов Кронекера, сдвинутых на интервал Dt, со значениями веса, равными значениям отсчетов функции s(t) в моменты kDt. При прохождении такого сигнала через систему с импульсным откликом h(t)= sinc(pFt)= sin(pFt)/pFt каждый весовой импульс Кронекера возбудит на выходе соответствующую последовательную серию сдвинутых и масштабированных копий оператора фильтра. Отсюда, с учетом очевидного равенства

d(t-kDt) * sinc(pFt) = sinc[pF(t-kDt)],

выходной сигнал будет представлять собой сумму сдвинутых весовых импульсных откликов системы, где значение веса определяется отсчетами дискретного сигнала:

s(t) =s(kDt) sinc[pF(t-kDt)] =s(kDt) sinc[p(t/Dt-k)]. (7.2.7)

Эта конечная формула носит название интерполяционного ряда Котельникова-Шеннона. Из нее следует, что если наибольшая частота в спектре произвольной непрерывной функции s(t) не превышает частоты ее дискретизации, то она без потери точности может быть представлена в виде числовой последовательности дискретных значений s(kDt), k = 0,1,2,... , и однозначно восстановлена по этой последовательности. В этом и состоит сущность теоремы отсчетов Котельникова. В зарубежной литературе она называется также теоремой Шеннона или теоремой дискретизации (sampling teorem).

Академик В.А.Котельников, 1908-2005. Крупнейший ученый в области радиотехники, радиофизики и информатики. Окончил Московский энергетический институт в 1931 году. С 1931 г. по 1941 г. преподает в МЭИ и ведет научную работу в ЦНИИ связи. В 1933 г. формулирует знаменитую теорему отсчетов, которая носит его имя. В период Великой Отечественной войны (1941-1945 гг.) работал над созданием специальной аппаратуры связи. С 1948 г. по 1953 г. директор и главный конструктор ОКБ МЭИ. В 1953 году избран академиком АН СССР. С 1954 года - директор Института радиотехники и электроники АН СССР. Занимался теорией помехоустойчивой радиосвязи и радиолокации, радиолокационным исследованием планет. Лауреат Ленинской премии, дважды лауреат Государственной премии СССР. Дважды удостоен звания Героя Социалистического труда, награжден шестью орденами Ленина, орденом "За заслуги перед Отечеством" I степени.

По существу, ряд (7.2.7) представляет собой частный случай разложения сигнала в соответствии с формулой (7.1.2) по системе ортогональных функций интегрального синуса v(t, kDt)= sinc(pF(t-kDt))= sinc(p(t/Dt – k)), образующих базис пространства сигналов s(t). Для проверки ортогональности достаточно вычислить скалярное произведение базисных функций:

v(t,nDt) v(t,mDt) dt = .

Разложение (7.2.7) проще и понятнее, чем разложение в ряды Фурье, что можно видеть на рис. 7.2.6. Вес каждой функции отсчетов sinc[pF(t-kDt)] формирует пиковое значение интегрального синуса в каждой текущей точке t= kDt, равное значению сигнала s(kDt), при этом во всех остальных точках дискретных отсчетов sinc[pF(t-(k±j)Dt))], j= 1,2,… значения интегрального синуса равны нулю. Ряд числовых значений интегрального синуса для дискретных значений t= nDt при суммировании по k полностью эквивалентен гребневой функции:

sinc[pF(nDt-kDt)] º ШDt(t).

Однако, в отличие от гребневой функции, в интервале между дискретными отсчетами интегральный синус имеет не нулевые, а определенные осциллирующие значения. Суперпозицией этих значений по текущим значениям t от всех интегральных синусов, осцилляции которых доходят до данного значения t, и образуются значения аналогового сигнала в интервалах между отсчетами.

Рис. 7.2.6. Восстановление непрерывного сигнала по дискретным отсчетам.

Рис. 7.2.7.
Рис. 7.2.8. Изменение масштаба при восстановлении аналоговой функции.

В принципе, функции отсчетов имеют бесконечные осцилляции, и восстанавливают аналоговый сигнал, бесконечный по аргументу. Амплитуда осцилляций функций отсчетов затухает достаточно медленно (см. рис. 7.2.7). Однако на рис. 7.2.6 нетрудно заметить, что, в силу знакопеременности функций отсчетов по интервалам дискретизации, осцилляции восстанавливаемых кривых с финитным спектром затухают достаточно быстро, и для данных без существенных выбросов и больших перепадов значений определяются, в основном, отсчетами, ближайшими к интерполируемому интервалу. Это позволяет ограничивать интервал суммирования в формуле (2.5.7) определенными окрестностями текущих точек интерполяции.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Введение в теорию сигналов и систем

Тематика практических работ введение в теорию сигналов.. Содержание.. Общие сведения и понятия..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Равномерная дискретизация

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Тематика практических работ
Работы выполняются на компьютерах по типовым программам с заданием индивидуальных параметров моделирования, расчетов и обработки данных для каждого студента группы.

Пространство сигналов
Важнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключается в том, что их линейные комбинации также являются аналоговыми или дискретными сигналами. Линейные комбинации цифровых сигналов, в силу

Мощность и энергия сигналов
Понятия мощности и энергиив теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отража

Пространства функций
Пространства функций можно считать обобщением пространства N-мерных сигналов – векторов на аналоговые сигналы, как бесконечномерные векторы, с некоторыми чисто практическими уточнениями.

Функции корреляции сигналов
Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом. Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов

Математическое описание шумов и помех
Шумы и помехи (noise). При детектировании сигналов в сумме с основным информационным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы - шумы и помехи самой различ

Разложение сигналов по единичным импульсам
Единичные импульсы. В качестве математической модели единичного импульса при анализе аналоговых сигналов используют дельта-функцию. Дельта-функция

Свертка (конволюция) сигналов
Интеграл Дюамеляпозволяет определять реакцию системы на воздействие s(t) в текущем времени по ее переходной функции g(t) на единичный скачок входного воздействия:

Мощность и энергия сигналов
Частотное представление применяется не только для спектрального анализа сигналов, но и для упрощения вычислений энергии сигналов и их корреляционных характеристик. Как уже рассматривалось

Энергетические спектры сигналов
Скалярное произведение сигналов. Энергия суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t) определяется выражением: E =

Автокорреляционные функции сигналов
Понятие автокорреляционных функций сигналов. Автокорреляционная функция (АКФ, CF - correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной инте

Взаимные корреляционные функции сигналов
Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположени

Спектральные плотности корреляционных функций
Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений. В соответствии с выражением (6.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного

Задачи дискретизации функций
Сигналы и системы дискретного времени. Значения дискретного сигнала определены только при дискретных значениях времени или любой другой независимой переменной. Обычно ег

Исследование и разработка основных правил ограничения интервала суммирования при интерполяции данных рядом Котельникова-Шеннона
Рис. 7.2.9. Интерполяция по Котельникову-Шеннону. Ряд (7.2.7) позволяет простым введе

Дискретизация по критерию наибольшего отклонения
Задача абсолютно точного восстановления сигнала на практике обычно не ставится, в отличие от задачи минимального физического объема информации, при котором сохраняется возможность ее восстановления

Адаптивная дискретизация
Частота равномерной дискретизации информации рассчитывается по предельным значениям частотных характеристик сигналов. Адаптивная дискретизация ориентирована на динамические характеристики сигнала,

Исследовать и разработать программу оценки спектра дискретного сигнала при неравномерном шаге дискретизации
Самыми простыми способами восстановления сигналов при адаптивной дискретизации являются линейная и квадратичная интерполяции, которые выполняются по уравнениям: f(x)лин = а

Квантование сигналов
Дискретизация аналоговых сигналов с преобразованием в цифровую форму связана с квантованием сигналов. Сущность квантования состоит в замене несчетного множества возможных значений функции, в общем

Децимация и интерполяция данных
Децимацией (прореживанием, сокращением) цифровых данных принято называть уплотнение данных с удалением избыточной информации. Последнее имеет место, если шаг дискретизации данных был установлен изл

Преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурьеможет быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, fn = nDf):

Преобразование Лапласа
Дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ), как и ДПФ, может быть получено из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, wn = nDw): Y(p) =

Z - преобразование сигналов
Определение преобразования. Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Произвольной непр

Дискретная свертка (конволюция)
Свертка – основной процесс в цифровой обработке сигналов. Поэтому важно уметь эффективно ее вычислять. Уравнение дискретной свертки двух функций (сигналов) може

Случайные процессы и функции
Случайный процесс описывается статистическими характеристиками, называемыми моментами. Важнейшими характеристиками случайного процесса являются его стационарность, эргодичность и спектр мощности.

Функции спектральной плотности
Каноническое разложение случайных функций. Введем понятие простейшей случайной функции, которая определяется выражением: X(t) = X×j(t), (9.2.1)

Преобразования случайных функций
Системы преобразования случайных функций.Пусть имеется система преобразования с одним входом, на который поступает (подается) входная случайная функция X(t) - функция

Модели случайных сигналов и помех
Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовый случайный процесс, гауссовый шум.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги