рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Преобразование Фурье [5,17,21].

Преобразование Фурье [5,17,21]. - раздел Связь, Введение в теорию сигналов и систем Дискретное Преобразование ФурьеМожет Быть Получен...

Дискретное преобразование Фурьеможет быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, fn = nDf):

S(f) =s(t) exp(-j2pft) dt, S(fn) = Dts(tk) exp(-j2pfnkDt), (8.1.1)

s(t) =S(f) exp(j2pft) df, s(tk) = DfS(fn) exp(j2pnDftk). (8.1.2)

Напомним, что дискретизация функции по времени приводит к периодизации ее спектра, а дискретизация спектра по частоте - к периодизации функции. Не следует также забывать, что значения (8.1.1) числового ряда S(fn) являются дискретизаций непрерывной функции S'(f) спектра дискретной функции s(tk), равно как и значения (8.1.2) числового ряда s(tk) являются дискретизацией непрерывной функции s'(t), и при восстановлении этих непрерывных функций S'(f) и s'(t) по их дискретным отсчетам соответствие S'(f) = S(f) и s'(t) = s(t) гарантировано только при выполнении теоремы Котельникова-Шеннона.

Для дискретных преобразований s(kDt) Û S(nDf), и функция, и ее спектр дискретны и периодичны, а числовые массивы их представления соответствуют заданию на главных периодах Т = NDt (от 0 до Т или от -Т/2 до Т/2), и 2fN = NDf (от -fN до fN), где N – количество отсчетов, при этом:

Df = 1/T = 1/(NDt), Dt = 1/2fN = 1/(NDf), DtDf = 1/N, N = 2TfN. (8.1.3)

Соотношения (8.1.3) являются условиями информационной равноценности динамической и частотной форм представления дискретных сигналов. Другими словами: число отсчетов функции и ее спектра должны быть одинаковыми. Но каждый отсчет комплексного спектра представляется двумя вещественными числами и, соответственно, число отсчетов комплексного спектра в 2 раза больше отсчетов функции? Это так. Однако представление спектра в комплексной форме - не более чем удобное математическое представление спектральной функции, реальные отсчеты которой образуются сложением двух сопряженных комплексных отсчетов, а полная информация о спектре функции в комплексной форме заключена только в одной его половине - отсчетах действительной и мнимой части комплексных чисел в частотном интервале от 0 до fN, т.к. информация второй половины диапазона от 0 до -fN является сопряженной с первой половиной и никакой дополнительной информации не несет.

При дискретном представлении сигналов аргумент tk обычно проставляется номерами отсчетов k (по умолчанию Dt = 1, k = 0,1,…N-1), а преобразования Фурье выполняются по аргументу n (номер шага по частоте) на главных периодах. При значениях N, кратных 2:

S(fn) º Sn = sk exp(-j2pkn/N), n = -N/2,…,0,…,N/2. (8.1.4)

s(tk) º sk = (1/N)Sn exp(j2pkn/N), k = 0,1,…,N-1. (8.1.5)

Главный период спектра в (8.1.4) для циклических частот от -0.5 до 0.5, для угловых частот от -p до p. При нечетном значении N границы главного периода по частоте (значения ±fN) находятся на половину шага по частоте за отсчетами ±(N/2) и, соответственно, верхний предел суммирования в (8.1.5) устанавливается равным N/2.

В вычислительных операциях на ЭВМ для исключения отрицательных частотных аргументов (отрицательных значений номеров n) и использования идентичных алгоритмов прямого и обратного преобразования Фурье главный период спектра обычно принимается в интервале от 0 до 2fN (0 £ n £ N), а суммирование в (8.1.5) производится соответственно от 0 до N-1. При этом следует учитывать, что комплексно сопряженным отсчетам Sn* интервала (-N,0) двустороннего спектра в интервале 0-2fN соответствуют отсчеты SN+1-n (т.е. сопряженными отсчетами в интервале 0-2fN являются отсчеты Sn и SN+1-n).

Рис. 8.1.1. Дискретный сигнал и модуль его спектра.

Пример:На интервале Т= [0,99], N=100, задан дискретный сигнал s(k) =d(k-i) - прямоугольный импульс с единичными значениями на точках k от 3 до 8. Форма сигнала и модуль его спектра в главном частотном диапазоне (вычисление по формуле S(n) =s(k) exp(-j2pkn/100) с шагом по частоте Dw=2p/100, приведены на рис. 8.1.1.

Рис. 8.1.2. Модуль спектра. Рис. 8.1.3. Модуль спектра.

На рис. 8.1.2 приведена огибающая значений другой формы представления главного диапазона спектра. Независимо от формы представления спектр периодичен, в чем нетрудно убедиться, если вычислить значения спектра для большего интервала аргумента n с сохранением того же шага по частоте, как это показано на рис. 8.1.3 для огибающей значений спектра.

Рис. 8.1.4. Обратное преобразование Фурье.

На рис. 8.1.4. показано обратное преобразование Фурье для дискретного спектра, выполненное по формуле s'(k) = (1/100)S(n)×exp(j2pkn/100), которое показывает периодизацию исходной функции s(k), но главный период k={0,99} этой функции полностью совпадает с исходным сигналом s(k).

Преобразования (8.1.4-8.1.5) называют дискретными преобразованиями Фурье (ДПФ). Для ДПФ, в принципе, справедливы все свойства интегральных преобразований Фурье, однако при этом следует учитывать периодичность дискретных функций и спектров. Произведению спектров двух дискретных функций (при выполнении каких-либо операций при обработке сигналов в частотном представлении, как, например, фильтрации сигналов непосредственно в частотной форме) будет соответствовать свертка периодизированных функций во временном представлении (и наоборот). Такая свертка называется циклической (см. раздел 8.4) и ее результаты на концевых участках информационных интервалов могут существенно отличаться от свертки финитных дискретных функций (линейной свертки).

Из выражений ДПФ можно видеть, что для вычисления каждой гармоники нужно N операций комплексного умножения и сложения и соответственно N2 операций на полное выполнение ДПФ. При больших объемах массивов данных это может приводить к существенным временным затратам. Ускорение вычислений достигается при использовании быстрого преобразования Фурье.

Быстрое преобразование Фурье(БПФ, fast Fourier transform - FFT). Он базируется на том, что при вычислениях среди множителей (синусов и косинусов) есть много периодически повторяющихся значений (в силу периодичности функций). Алгоритм БПФ группирует слагаемые с одинаковыми множителями в пирамидальный алгоритм, значительно сокращая число умножений за счет исключения повторных вычислений. В результате быстродействие БПФ в зависимости от N может в сотни раз превосходить быстродействие стандартного алгоритма. При этом следует подчеркнуть, что алгоритм БПФ даже точнее стандартного, т.к. сокращая число операций, он приводит к меньшим ошибкам округления.

Допустим, что массив чисел sk содержит N = 2r отсчетов (r - целое). Разделим исходный массив на два первых промежуточных массива с четными и нечетными отсчетами:

sk' = s2k, sk" = s2k+1, 0 £ k £ N/2-1.

Выполним ДПФ каждого массива с учетом того, что шаг функций равен 2 (при Dt=1), а период промежуточных спектров будет соответственно равен N/2:

sk' Þ Sn', sk" Þ Sn", 0 £ n £ N/2-1.

Для получения одной половины искомого спектра Sn сложим полученные спектры с учетом теоремы запаздывания, т.к. отсчеты функции sk" сдвинуты относительно sk' на один шаг дискретизации:

Sn = Sn'+Sn"×exp(-j2pn/N). (8.1.6)

Вторая половина спектра, комплексно сопряженная с первой, с учетом периода повторения N/2 промежуточных спектров определяется выражением:

Sn+N/2 = Sn'+Sn"×exp(-j2p(n+N/2)/N) = Sn'- Sn"×exp(-j2pn/N). (8.1.7)

Нетрудно видеть, что для вычисления полного спектра в данном случае потребуется N2/4 операций для вычисления промежуточных спектров плюс еще N операций комплексного умножения и сложения, что создает ощутимый эффект по сравнению с ДПФ.

Но деление массивов на две части может быть применено и к первым промежуточным массивам, и ко вторым, и т.д. до тех пор, пока в массивах не останется по одному отсчету, фурье - преобразование которых равно самому отсчету. Тем самым, алгоритм преобразования превращается в пирамидальный алгоритм перестановок со сложением/вычитанием и с единичным умножением на значение exp(-j2pn/N) соответствующего уровня пирамиды. Первый алгоритм БПФ на данном принципе (из множества модификаций, существующих в настоящее время) был разработан Кули-Тьюки в 1965 г. и позволил повысить скорость вычислений в N/r раз по сравнению с ДПФ. Чем больше N, тем больше эффект БПФ. Так, при N = 1024 имеем r = 10 и соответственно N/r »100. Что касается условия по количеству точек N = 2r, то оно рассматривается в варианте Nk £ 2r, где r - минимальное целое. Массивы с Nk < 2r дополняется до 2r нулями, что не изменяет форму спектра. Изменяется только шаг Dw по представлению спектра (Dw = 2p/2r < 2p/N), который несколько избыточен по адекватному представлению сигнала в частотной области. В настоящее время существуют и алгоритмы БПФ с другими основаниями и их комбинациями, при которых не требуется дополнения сигналов нулями до 2r.

Заметим, что в соответствии с (8.1.7) отсчеты, сопряженные с правой половиной главного частотного диапазона (0, p), относятся не к диапазону (-p,0), а к диапазону (p,2p), что, учитывая периодичность спектра дискретных данных, значения не имеет. Т.е. выходной частотный диапазон БПФ равен (0, 2p). Общее количество отсчетов комплексного спектра в этом условно главном диапазоне равно количеству точек исходного сигнала (с учетом нулевых точек при дополнении сигнала до N=2r). Алгоритм быстрого обратного преобразования (ОБПФ) тождественен алгоритму прямого БПФ.

Алгоритмы прямого и обратного БПФ широко используются в современном программном обеспечении для анализа и обработки цифровых данных. Пример выполнения БПФ приведен на рис. 8.1.5.

Рис. 8.1.5. Пример БПФ.

Применение ДПФ. Основная область использования ДПФ – спектральный анализ физических данных. При этом интерес обычно представляют только амплитуды отдельных гармоник, а не их фазы, и спектр отображается в виде графика зависимости амплитуды (модуля спектра) от частоты. Часто шкала амплитуд градуируется в децибелах. Децибелы - логарифмы отношения амплитудных значений. Например, разница на 20 дБ означает различие амплитуд в 10 раз, разница на 40 дБ - 100 раз. Различию амплитуд в 2 раза отвечает разница примерно в 6 дБ. Шкала частот также часто градуируется в логарифмическом масштабе.

Перед вычислением спектра из сигнала, как правило, вырезается отрезок сигнала. Число последовательных отсчетов отрезка для использования БПФ должно быть степенью двойки, если в программном обеспечении вычислительной системы не оговорена ее способность выполнять БПФ по произвольным числовым рядам. В противном случае числовой ряд дополняется нулями до необходимого размера, что не изменяет формы спектра и сказывается только на увеличении частотного разрешения по спектру.

При вычислении спектра возможен следующий нежелательный эффект. При разложении участка сигнала в ряд Фурье мы тем самым принимает этот участок за один период Т, который периодически повторяется за пределами участка с фундаментальной частотой 1/Т. При ДПФ, а равно и при БПФ, вычисляется спектр именно такого периодического сигнала. При этом на границах периодов такая функция наверняка будет иметь разрывы или скачки, тем самым существенно искажая спектр. Для устранения этого эффекта применяются так называемые весовые окна, похожие на гауссиан, размер которых равен размеру участка. Анализируемый участок умножается на весовое окно, что плавно сводят сигнал на нет вблизи краев анализируемого участка и в значительной степени устраняют рассмотренные искажения спектра. Методика применения весовых окон подробно рассматривается в курсе цифровой обработки сигналов.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Введение в теорию сигналов и систем

Тематика практических работ введение в теорию сигналов.. Содержание.. Общие сведения и понятия..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Преобразование Фурье [5,17,21].

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Работы выполняются на компьютерах по типовым программам с заданием индивидуальных параметров моделирования, расчетов и обработки данных для каждого студента группы.

Пространство сигналов [1,3,16,29].
Важнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключается в том, что их линейные комбинации также являются аналоговыми или дискретными сигналами. Линейные комбинации цифровых сигналов, в силу

Мощность и энергия сигналов [1, 3, 16].
Понятия мощности и энергиив теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отража

Пространства функций [1,3,11,16,29].
Пространства функций можно считать обобщением пространства N-мерных сигналов – векторов на аналоговые сигналы, как бесконечномерные векторы, с некоторыми чисто практическими уточнениями.

Функции корреляции сигналов [1, 25, 29].
Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом. Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов

Математическое описание шумов и помех [1, 30].
Шумы и помехи (noise). При детектировании сигналов в сумме с основным информационным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы - шумы и помехи самой различ

Разложение сигналов по единичным импульсам [1, 11].
Единичные импульсы. В качестве математической модели единичного импульса при анализе аналоговых сигналов используют дельта-функцию. Дельта-функция

Свертка (конволюция) сигналов [1, 11].
Интеграл Дюамеляпозволяет определять реакцию системы на воздействие s(t) в текущем времени по ее переходной функции g(t) на единичный скачок входного воздействия:

Мощность и энергия сигналов [1,3,16].
Частотное представление применяется не только для спектрального анализа сигналов, но и для упрощения вычислений энергии сигналов и их корреляционных характеристик. Как уже рассматривалось

Энергетические спектры сигналов [1].
Скалярное произведение сигналов. Энергия суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t) определяется выражением: E =

Автокорреляционные функции сигналов [1,25].
Понятие автокорреляционных функций сигналов. Автокорреляционная функция (АКФ, CF - correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной инте

Взаимные корреляционные функции сигналов [1,19].
Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположени

Спектральные плотности корреляционных функций [1,25].
Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений. В соответствии с выражением (6.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного

Задачи дискретизации функций [10, 21].
Сигналы и системы дискретного времени. Значения дискретного сигнала определены только при дискретных значениях времени или любой другой независимой переменной. Обычно ег

Равномерная дискретизация [16,21].
Спектр дискретного сигнала. Допустим, что для обработки задается произвольный аналоговый сигнал s(t), имеющий конечный и достаточно компактный фурье-образ S(f). Равномер

Курсовая работа 1 – Исследование и разработка основных правил ограничения интервала суммирования при интерполяции данных рядом Котельникова-Шеннона.
Рис. 7.2.9. Интерполяция по Котельникову-Шеннону. Ряд (7.2.7) позволяет простым введе

Дискретизация по критерию наибольшего отклонения [10].
Задача абсолютно точного восстановления сигнала на практике обычно не ставится, в отличие от задачи минимального физического объема информации, при котором сохраняется возможность ее восстановления

Адаптивная дискретизация [10].
Частота равномерной дискретизации информации рассчитывается по предельным значениям частотных характеристик сигналов. Адаптивная дискретизация ориентирована на динамические характеристики сигнала,

Курсовая работа 2 – Исследовать и разработать программу оценки спектра дискретного сигнала при неравномерном шаге дискретизации.
Самыми простыми способами восстановления сигналов при адаптивной дискретизации являются линейная и квадратичная интерполяции, которые выполняются по уравнениям: f(x)лин = а

Квантование сигналов [5,21].
Дискретизация аналоговых сигналов с преобразованием в цифровую форму связана с квантованием сигналов. Сущность квантования состоит в замене несчетного множества возможных значений функции, в общем

Децимация и интерполяция данных [4,5,17].
Децимацией (прореживанием, сокращением) цифровых данных принято называть уплотнение данных с удалением избыточной информации. Последнее имеет место, если шаг дискретизации данных был установлен изл

Преобразование Лапласа.
Дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ), как и ДПФ, может быть получено из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, wn = nDw): Y(p) =

Z - преобразование сигналов [2,13,21].
Определение преобразования. Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Произвольной непр

Дискретная свертка (конволюция) [5,17,21].
Свертка – основной процесс в цифровой обработке сигналов. Поэтому важно уметь эффективно ее вычислять. Уравнение дискретной свертки двух функций (сигналов) може

Случайные процессы и функции [1, 2, 25].
Случайный процесс описывается статистическими характеристиками, называемыми моментами. Важнейшими характеристиками случайного процесса являются его стационарность, эргодичность и спектр мощности.

Функции спектральной плотности [2,25,26].
Каноническое разложение случайных функций. Введем понятие простейшей случайной функции, которая определяется выражением: X(t) = X×j(t), (9.2.1)

Преобразования случайных функций [1, 26, 27].
Системы преобразования случайных функций.Пусть имеется система преобразования с одним входом, на который поступает (подается) входная случайная функция X(t) - функция

Модели случайных сигналов и помех [2, 28].
Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовый случайный процесс, гауссовый шум.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги