Дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ), как и ДПФ, может быть получено из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, wn = nDw):
Y(p) =y(t) exp(-pt) dt, Y(pn) = Dty(tk) exp(-pntk), (8.2.1)
где p = s+jw - комплексная частота, s ³ 0.
y(t) = (1/2pj) Y(p) exp(pt) dp. y(tk) = DtY(pn) exp(pntk). (8.2.2)
Функцию Y(p) называют изображением Лапласа функции y(t) - оригинала изображения. При s = 0 преобразование Лапласа превращается в одностороннее преобразование Фурье, а для каузальных сигналов - в полную аналогию ПФ. Преобразование Лапласа применяется для спектрального анализа функций, не имеющих фурье-образов из-за расходимости интегралов Фурье:
Y(p) =y(t) exp(-st-jwt) dt =y(t) exp(-st) exp(-jwt) dt =y'(t) exp(-jwt) dt.
Рис. 8.2.1. Сопоставление преобразований Фурье и Лапласа.
Правый интеграл для каузальных сигналов представляет собой преобразование Фурье, при этом сигнал y'(t) за счет экспоненциального множителя exp(-st) соответствующим выбором значения s>0 превращается в затухающий и конечный по энергии. Все свойства и теоремы преобразований Фурье имеют соответствующие аналоги и для преобразований Лапласа.
Пример сопоставления преобразований Фурье и Лапласа приведен на рис. 8.2.1.