рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Преобразования случайных функций [1, 26, 27].

Преобразования случайных функций [1, 26, 27]. - раздел Связь, Введение в теорию сигналов и систем Системы Преобразования Случайных Функций.Пусть...

Системы преобразования случайных функций.Пусть имеется система преобразования с одним входом, на который поступает (подается) входная случайная функция X(t) - функция воздействия или возбуждения, и с одним выходом, с которого снимается выходная функция Z(t) - отклик или выходная реакция системы. Система осуществляет преобразование X(t) Þ Z(t) и описывается определенным системным оператором трансформации Т - функцией, алгоритмом, набором правил преобразования входного сигнала в выходной. Обозначение операции преобразования: Z(t) = T[X(t)]. Символическое и полное отображение операции преобразования:

z(t) = h(t) ③ x(t-t) =h(t)×x(t-t) dt.

где h(t) - математическая функция импульсного отклика системы на единичное входное воздействие. Импульсный отклик определяет соответствующую частотную передаточную характеристику системы: h(t) ó H(w).

Для неслучайных (детерминированных) входных сигналов соотношение между выходными и входными сигналами всегда однозначно задается системным оператором. В случае реализации на входе системы случайного входного процесса (случайного сигнала) тоже существует однозначное соответствие процессов на выходе и входе системы, однако при этом одновременно происходит изменение статистических характеристик выходного сигнала (математического ожидания, дисперсии, ковариационной функции и пр.).

Линейные и нелинейные системы составляют два основных класса систем обработки сигналов. Термин линейности означает, что система преобразования сигналов должна иметь произвольную, но в обязательном порядке линейную связь между входным сигналом (возбуждением) и выходным сигналом (откликом). В нелинейных системах связь между входным и выходным сигналом определяется произвольным нелинейным законом.

Основные системные операции линейных систем, из которых могут быть сформированы любые линейные операторы преобразования, это операции скалярного умножения, сдвига и сложения сигналов:

s(t) = c ´ a(t), s(t) = a(t-Dt), s(t) = a(t)+b(t).

Для нелинейных систем выделим важный тип безынерционных операций нелинейной трансформации сигнала, результаты которой зависят только от его входных значений. К ним относятся, например, операции квадратирования и логарифмирования сигнала:

y(t) = [s(t)]2, y(t) = log[s(t)].

Система считается линейной, если ее реакция на входные сигналы аддитивна (выполняется принцип суперпозиции сигналов) и однородна (выполняется принцип пропорционального подобия). Другими словами, отклик линейной системы на взвешенную сумму входных сигналов должен быть равен взвешенной сумме откликов на отдельные входные сигналы независимо от их количества и для любых весовых коэффициентов, в том числе комплексных.

Линейные системы могут быть неоднородными, если они осуществляют какое-либо линейное преобразование с прибавлением (вычитанием) заданной функции, т.е. операцию вида Z(t) = T[X(t)] = To[X(t)] + f(t).

Двухвходовая система описывается системным оператором Т, который связывает два входных воздействия, соответственно X(t) и Y(t), с выходной реакцией Z(t). Система считается линейной, если принципы аддитивности и однородности выполняются для обоих входов. Двухвходовая система может применяться, например, для суммирования двух случайных процессов с разными коэффициентами усиления их значений.

Z(t) = T[а(X1(t)+X2(t)), b(Y1(t)+Y2(t))] = a×T[X1(t),Y1(t)] + b×T[X2(t),Y2(t)].

Связь выходных статистических функций с входными. Для одновходовых систем при выполнении линейного преобразования Z(t) = T[X(t)] обычно ставится задача определения характеристик распределения Z(t) по известным характеристикам X(t).

Математическое ожидание выходного сигнала:

mz(t) = M{Z(t)} = M{T[X(t)]}.

Из теории линейных систем: линейный оператор можно выносить за знак математического ожидания. Отсюда следует:

mz(t) = T[M{X(t)}] = T[mx(t)], (9.3.1)

т.е. для определения функции математического ожидания выходного сигнала Z(t) достаточно выполнить преобразование тем же системным оператором функции математического ожидания входного сигнала X(t):

mz(t) = h(t) ③ mx(t-t). (9.3.2)

Корреляционная функция выходного сигнала:

Rz(t1,t2) = M{Z(t1)Z(t2)}= M{T1[X(t1)] T2[X(t2)]},

где Т1 и Т2 - один и тот же оператор Т по переменным соответственно t1 и t2, что позволяет вынести его за знак математического ожидания, сохраняя переменные:

Rz(t1,t2) = T1T2[M{X(t1)X(t2)}] =T1T2[Rx(t1,t2)], (9.3.3)

т.е. при известной функции корреляции входного сигнала функция корреляции выходного сигнала находится двойным преобразованием тем же оператором по двум аргументам.

При определении функции Rz(t) следует учесть порядок преобразования. Для произведения выходных сигналов z(t) и z(t+t) линейной системы можно записать:

z(t)×z(t+t) =h(a)h(b) x(t-a) x(t+t-b) da db.

Если взять математические ожидания от обеих частей этого равенства, то, с учетом соотношения в подынтегральном выражении

M{x(t-a) x(t+t-b)} = -Rx(t-a-t-t+b) = Rx(t+a-b),

получим:

Rz(t) =h(a)h(b) Rx(t+a-b) da db º Rx(t) ③ h(t+a) ③ h(t-b). (9.3.4)

Таким образом, функция корреляции выходного сигнала равна функции корреляции входного сигнала, свернутой дважды, в прямом и обратном направлении, с импульсным откликом системы, что сохраняет четность корреляционной функции выходного сигнала. Аналогичное заключение действительно и для ковариационных функций.

Заметим, что для свертки импульсных откликов, производя замену t-b = t, мы имеем равенство:

h(t+a) ③ h(t-b) = h(t+a+b) ③ h(t) = h(t) ③ h(t+g) = Rh(t),

где Rh(t) - функция корреляции импульсного отклика системы. Отсюда:

Rz(t) = Rx(t) ③ Rh(t). (9.3.5)

т.е. функция корреляции выходного сигнала равна свертке функции корреляции входного сигнала с функцией корреляции импульсного отклика системы. Это означает появление в случайном сигнале на выходе системы определенной ковариационной зависимости, вызванной инерционностью системы, причем радиус ковариации выходного сигнала обратно пропорционален верхней частоте, пропускаемой системой.

Функции взаимной корреляции входного и выходного сигналов определяются аналогично:

Rzx(t1,t2) = T1[Rx(t1,t2)], Rxz(t1,t2) = T2[Rx(t1,t2)]. (9.3.6)

Для функции Rxz входного и выходного сигналов имеем:

x(t)×z(t+t) dt =h(a) x(t) x(t+t-a) da dt.

Rxz(t) =h(a) Rx(t-a) da º Rx(t) ③ h(t-a). (9.3.7)

т.е. функция взаимной корреляции входного и выходного сигналов равна свертке функции корреляции входного сигнала с функцией импульсного отклика системы.

Другая взаимно корреляционная функция Ryx может быть получена из соотношения:

Rzx(t) = Rxz(-t) º Rx(t) ③ h(t+a). (9.3.8)

Отметим, что для статистически независимых случайных величин при одностороннем импульсном отклике h(t) = 0 при t<0 функция Rxz(t) также является односторонней, и равна 0 при t<0, а функция Rzx соответственно равна 0 при t>0.

Спектральные соотношения,которые характеризуют систему в целом по отношению к преобразованию случайных сигналов, это соотношения спектральных плотностей случайных сигналов (спектров мощности) на входе и выходе.

Применяя преобразование Фурье к выражениям (9.3.5), для спектра мощности выходного сигнала получаем:

Sz(f) = Sx(f) |H(f)|2. (9.3.9)

Спектр мощности случайного сигнала на выходе системы равен спектру мощности входного сигнала, умноженному на квадрат модуля частотной характеристики фильтра. С учетом четности ковариационных функций спектр мощности выходного сигнала также является четной действительной функцией и содержит только амплитудную характеристику системы.

Аналогично, для взаимного спектра мощности сигналов на основе выражений (9.3.7-8) имеем:

Sxz(f) = Sx(f) H(f), Szx(f) = Sx(f) H(-f). (9.3.10)

Взаимный спектр сигналов при одностороннем импульсном отклике является комплексным, и содержит как амплитудную, так и фазовую характеристику системы.

Отметим, что с использованием выражения (9.3.10) можно производить определение частотной характеристики и импульсного отклика системы:

H(f) = Sxz/Sx Û h(t).

Дисперсия выходного сигналаможет быть определена с использованием формул (9.3.4, 9) по функциям ковариации:

sz2 = Kz(0) =Sx(f) |H(f)|2 df º Kx(0)h2(t) dt = sx2h2(t) dt, (9.3.11)

Если сигнал нецентрированный и значение дисперсии входного сигнала неизвестно, то по аналогичным формулам вычисляется сначала средний квадратвыходного сигнала или так называемая средняя мощность сигнала:

== Rz(0) º h2(t) dt ºSx(f) |H(f)|2 df. (9.3.12)

Средняя мощность выходного сигнала равна средней мощности входного сигнала, умноженной на квадрат площади импульсной реакции системы (для цифровых систем - сумму квадратов коэффициентов импульсного отклика). Для центрированных случайных сигналов средняя мощность равна дисперсии сигналов. Для нецентрированных выходных сигналов:

sz 2 = - 2 º (-2)h2(t) dt. (9.3.13)

Функция когерентности дает оценку точности принятой линейной модели системы. Когерентность входного и выходного сигналов системы оценивается по формуле:

gxz2(f) = |Sxz(f)|2/[Sx(f)×Sz(f)]. (9.3.14)

Если функции Sx(f) и Sz(f) отличны от нуля и не содержат дельта-функций, то для всех частот f значения функции когерентности заключены в интервале:

0 £ gxz2(f) £ 1.

Для исключения дельта-функций на нулевой частоте определение функции когерентности производится по центрированным сигналам. Для линейных систем с постоянными параметрами функция когерентности равна 1, в чем нетрудно убедиться, если в формулу (9.3.14) подставить выражения Sxz и Sz, определенные через Sx в формулах (9.3.9-10). Для совершенно не связанных сигналов функция когерентности равна нулю. Промежуточные между 0 и 1 значения могут соответствовать трем ситуациям:

1. Система осуществляет преобразование x(t) Þ z(t), но в измерениях этих сигналов или одного из них присутствует внешний шум. Так, например, в сигналах, зарегистрированных с ограничением по разрядности, появляется шум квантования (округления значений).

2. Система не является строго линейной. Это может наблюдаться, например, при определенном ограничении по разрядности вычислений в цифровых системах, при накоплении ошибки в рекурсивных системах и т.п.

3. Выходной сигнал z(t) помимо x(t) зависит еще от каких-то входных или внутренних системных процессов.

Величина 1-gxz2(f) задает долю среднего квадрата сигнала z(t) на частоте f, не связанную с сигналом x(t).

Аналогично можно вычислить функцию когерентности двух реализаций x(t) и y(t). Значения функции будут указывать на степень линейной зависимости одной реализации от другой, хотя это и не означает обязательности наличия какой-либо причинно-следственной связи между реализациями. Функция когерентности gxy сохраняется при точных однотипных линейных преобразованиях функций x(t) и y(t), что позволяет производить ее определение без измерения самих величин x(t) и y(t).

Преобразования случайных функций.

Сложение случайных функций. При сложении случайных функций, в общем случае, с произвольными постоянными коэффициентами а и b, и образовании случайной функции суммы Z(t) = a×X(t) + b×Y(t), функция математического ожидания процесса Z(t):

mz(t)= M{Z(t)}= M{aX(t)+bY(t)}= a×M{X(t)}+b×M{Y(t)}= a×mx(t)+b×my(t). (9.3.15)

Корреляционная функция суммы вычисляется аналогично, и равна:

Rz(t1,t2) = M{Z(t1)×Z(t2)}= M{[aX(t1)+bY(t1)][aX(t2)+bY(t2)]}=

= M{a2X(t1)X(t2)+b2Y(t1)Y(t2)+×ab[X(t1)Y(t2)+Y(t1)X(t2)]} =

= a2Rx(t1,t2)+b2Ry(t1,t2)+ab×[Rxy(t1,t2)+Ryx(t1,t2)]. (9.3.16)

Для некоррелированных функций X(t) и Y(t) функции взаимной корреляции Rxy и Ryx обнуляются. Аналогичную форму записи имеют и ковариационные функции (как частный случай корреляционных функций при центрировании случайных процессов). Выражения легко обобщаются на сумму любого числа случайных функций. В частности, для корреляционной функции стационарной случайной функции Z(t) = aiXi(t) при t2-t1 = t имеем:

Rz(t) = ai2Rxi(t) +aiajRxixj(t). (9.3.16')

При сложении случайной функции X(t) с неслучайной функцией y(t) математическое ожидание и корреляционная функция суммы Z(t)=X(t)+y(t) равны:

mz(t) = mx(t) + y(t), Rz(t1,t2) = Rx(t1,t2). (9.3.17)

При сложении случайной функции X(t) с некоррелированной случайной величиной Y математическое ожидание и корреляционная функция суммы Z(t)=X(t)+Y:

mz(t) = mx(t) + my, Rz(t1,t2) = Rx(t1,t2) + Dy. (9.3.18)

Произведение случайной и неслучайной функций X(t) и f(t).Математическое ожидание и корреляционная функция выходного сигнала:

mz(t) = M{Z(t)}= M{f(t)×X(t)}= f(t)×M{X(t)}= f(t)×mx(t). (9.3.19)

Rz(t1,t2)=M{f(t1)X(t1) f(t2)X(t2)}= f(t1)f(t2)M{X(t1)X(t2)}=

= f(t1)f(t2)×Rx(t1,t2). (9.3.20)

Если f(t) = const = C и Z(t) = C×X(t), то соответственно имеем:

mz(t) = С×mx(t), Rz(t1,t2) = С2×Rx(t1,t2). (9.3.21)

Производная от случайной функции Z(t) = dX(t)/dt. Если функция X(t) является непрерывной и дифференцируемой, то математическое ожидание производной:

mz(t) = M{Z(t)} = M{dX(t)/dt} = d(M{X(t)})/dt = dmx(t)/dt, (9.3.22)

т.е. математическое ожидание производной от случайной функции равно производной от ее математического ожидания. Для корреляционной функции имеем:

Rz(t1,t2) = M{(dX(t1)/dt1)(dX(t2)/dt2)}=M{X(t1)X(t2)}=Rx(t1,t2), (9.3.23)

т.е. корреляционная функция производной случайной функции равна второй смешанной частной производной от корреляционной функции исходной случайной функции.

Интеграл от случайной функции Z(t) =X(v)dv.

mz(t) = M{Z(t)} = M{X(v)dv} = M{X(v)}dv = mx(v)dv, (9.3.24)

т.е. математическое ожидание интеграла от случайной функции равно интегралу от ее математического ожидания. Для корреляционной функции имеем:

Rz(t1,t2) = M{X(t1)dt1X(t2)dt2} = M{X(t1)X(t2)dt1dt2} =

= M{X(t1)X(t2)}dt1dt2 = Rx(t1,t2)dt1dt2, (9.3.25)

т.е. корреляционная функция интеграла от случайной функции равна двойному интегралу от корреляционной функции исходной случайной функции.

Преобразования стационарных случайных функций выполняются по вышеприведенным формулам и дают следующие результаты (вместо корреляционных функций приводятся ковариационные функции, которые обычно используются на практике).

Математическое ожидание выходного сигнала Z(t) входной стационарной случайной функции X(t) по (9.3.2):

mz = h(t) * mx = mxh(t) dt, (9.3.26)

Отсюда следует, что математическое ожидание выходных сигналов системы равно математическому ожиданию входных сигналов, умноженному на площадь (или сумму коэффициентов) импульсного отклика системы, т.е. на коэффициент усиления системой постоянной составляющей. Если система не пропускает постоянную составляющую сигналов (площадь или сумма коэффициентов импульсного отклика системы равна нулю), то случайный выходной сигнал всегда будет иметь нулевое математическое ожидание.

Сумма двух стационарных случайных функций X(t) и Y(t) дает стационарную случайную функцию Z(t), при этом:

mz = mx + my, Dz = Dx + Dy + 2Kxy(0). (9.3.27)

Kz(t1,t2) = Kz(t) = Kx(t) + Ky(t) + Kxy(t) + Kyx(t). (9.3.28)

Сумма стационарной случайной и неслучайной функций X(t) и y(t) нестационарна по математическому ожиданию:

mz(t) = mx + y(t), Kz(t) = Kx(t). (9.3.29)

Произведение стационарной случайной и неслучайной функций X(t) и y(t) - нестационарная случайная функция, так как:

mz(t) = y(t)×mx, Dz(t) = y2(t)×Dx. (9.3.30)

Kz(t,t) = y(t)y(t+t)Kx(t). (9.3.31)

Производная от стационарной случайной функции - стационарная случайная функция с математическим ожиданием mz = 0 и ковариационными функциями:

Kz(t1,t2) = Kx(t1-t2) = -Kx(t) = Kz(t). (9.3.32)

Kzx(t) = d(Kx(t))/dt, Kxz(t) = -d(Kx(t))/dt. (9.3.33)

Из выражения (9.3.32) следует также, что для дифференцируемости X(t) необходимо, чтобы ее ковариационная функция была дважды дифференцируемой по t.

Интеграл от стационарной случайной функции - нестационарная случайная функция с математическим ожиданием mz(t) =mx(t)dt и функцией ковариации:

Kz(t1,t2) =Kx(u1-u2) du1du2. (9.3.34)

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Введение в теорию сигналов и систем

Тематика практических работ введение в теорию сигналов.. Содержание.. Общие сведения и понятия..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Преобразования случайных функций [1, 26, 27].

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

ТЕМАТИКА ПРАКТИЧЕСКИХ РАБОТ
Работы выполняются на компьютерах по типовым программам с заданием индивидуальных параметров моделирования, расчетов и обработки данных для каждого студента группы.

Пространство сигналов [1,3,16,29].
Важнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключается в том, что их линейные комбинации также являются аналоговыми или дискретными сигналами. Линейные комбинации цифровых сигналов, в силу

Мощность и энергия сигналов [1, 3, 16].
Понятия мощности и энергиив теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отража

Пространства функций [1,3,11,16,29].
Пространства функций можно считать обобщением пространства N-мерных сигналов – векторов на аналоговые сигналы, как бесконечномерные векторы, с некоторыми чисто практическими уточнениями.

Функции корреляции сигналов [1, 25, 29].
Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом. Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов

Математическое описание шумов и помех [1, 30].
Шумы и помехи (noise). При детектировании сигналов в сумме с основным информационным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы - шумы и помехи самой различ

Разложение сигналов по единичным импульсам [1, 11].
Единичные импульсы. В качестве математической модели единичного импульса при анализе аналоговых сигналов используют дельта-функцию. Дельта-функция

Свертка (конволюция) сигналов [1, 11].
Интеграл Дюамеляпозволяет определять реакцию системы на воздействие s(t) в текущем времени по ее переходной функции g(t) на единичный скачок входного воздействия:

Мощность и энергия сигналов [1,3,16].
Частотное представление применяется не только для спектрального анализа сигналов, но и для упрощения вычислений энергии сигналов и их корреляционных характеристик. Как уже рассматривалось

Энергетические спектры сигналов [1].
Скалярное произведение сигналов. Энергия суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t) определяется выражением: E =

Автокорреляционные функции сигналов [1,25].
Понятие автокорреляционных функций сигналов. Автокорреляционная функция (АКФ, CF - correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной инте

Взаимные корреляционные функции сигналов [1,19].
Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположени

Спектральные плотности корреляционных функций [1,25].
Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений. В соответствии с выражением (6.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного

Задачи дискретизации функций [10, 21].
Сигналы и системы дискретного времени. Значения дискретного сигнала определены только при дискретных значениях времени или любой другой независимой переменной. Обычно ег

Равномерная дискретизация [16,21].
Спектр дискретного сигнала. Допустим, что для обработки задается произвольный аналоговый сигнал s(t), имеющий конечный и достаточно компактный фурье-образ S(f). Равномер

Курсовая работа 1 – Исследование и разработка основных правил ограничения интервала суммирования при интерполяции данных рядом Котельникова-Шеннона.
Рис. 7.2.9. Интерполяция по Котельникову-Шеннону. Ряд (7.2.7) позволяет простым введе

Дискретизация по критерию наибольшего отклонения [10].
Задача абсолютно точного восстановления сигнала на практике обычно не ставится, в отличие от задачи минимального физического объема информации, при котором сохраняется возможность ее восстановления

Адаптивная дискретизация [10].
Частота равномерной дискретизации информации рассчитывается по предельным значениям частотных характеристик сигналов. Адаптивная дискретизация ориентирована на динамические характеристики сигнала,

Курсовая работа 2 – Исследовать и разработать программу оценки спектра дискретного сигнала при неравномерном шаге дискретизации.
Самыми простыми способами восстановления сигналов при адаптивной дискретизации являются линейная и квадратичная интерполяции, которые выполняются по уравнениям: f(x)лин = а

Квантование сигналов [5,21].
Дискретизация аналоговых сигналов с преобразованием в цифровую форму связана с квантованием сигналов. Сущность квантования состоит в замене несчетного множества возможных значений функции, в общем

Децимация и интерполяция данных [4,5,17].
Децимацией (прореживанием, сокращением) цифровых данных принято называть уплотнение данных с удалением избыточной информации. Последнее имеет место, если шаг дискретизации данных был установлен изл

Преобразование Фурье [5,17,21].
Дискретное преобразование Фурьеможет быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, fn = nDf):

Преобразование Лапласа.
Дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ), как и ДПФ, может быть получено из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, wn = nDw): Y(p) =

Z - преобразование сигналов [2,13,21].
Определение преобразования. Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Произвольной непр

Дискретная свертка (конволюция) [5,17,21].
Свертка – основной процесс в цифровой обработке сигналов. Поэтому важно уметь эффективно ее вычислять. Уравнение дискретной свертки двух функций (сигналов) може

Случайные процессы и функции [1, 2, 25].
Случайный процесс описывается статистическими характеристиками, называемыми моментами. Важнейшими характеристиками случайного процесса являются его стационарность, эргодичность и спектр мощности.

Функции спектральной плотности [2,25,26].
Каноническое разложение случайных функций. Введем понятие простейшей случайной функции, которая определяется выражением: X(t) = X×j(t), (9.2.1)

Модели случайных сигналов и помех [2, 28].
Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовый случайный процесс, гауссовый шум.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги