Модели случайных сигналов и помех [2, 28].

Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовый случайный процесс, гауссовый шум.

Рис. 9.4.1. Телеграфный сигнал.

Телеграфный сигнал - это случайный процесс x_k(t), представляющий собой последовательность прямоугольных положительных и отрицательных импульсов со случайными длительностями и детерминированными значениями амплитуд c и -с, причем перемены знака внутри любого интервала (t, t+t) происходят с интенсивностью a в случайные моменты времени, и не зависят от процессов в смежных интервалах времени. Если считать случайной величиной телеграфного сигнала значение n - количество перемен знака внутри интервала t, то распределение вероятностей значений n будет описываться законом Пуассона:

P(n) = (a|t|)² exp(-a|t|)/n! (9.4.1)

Рис. 9.4.2. Функция корреляции сигнала.

При вычислении корреляционной функции телеграфного сигнала каждое отдельное произведение x_k(t)x_k(t+t) равно либо с², либо -с² в зависимости от совпадения или несовпадения знаков x_k(t) и x_k(t+t), причем вероятность с² равна сумме вероятностей Р(0)+Р(2)+Р(4)+..., а вероятность -с² определяется соответственно суммой вероятностей Р(1)+Р(3)+Р(5)+... .

Следовательно:

R_x(t)= c²(-1)ⁿP(n)= c² exp(-a|t|)(-1)ⁿ(a|t)ⁿ/n! = c² exp(-2a|t|). (9.4.2)

Параметр a полностью определяет ковариационные и спектральные свойства телеграфного сигнала. При a Þ 0 характеристики сигнала приближаются к характеристикам постоянной составляющей, при a Þ ¥ - к характеристикам белого шума.

Интервал ковариации сигнала:

T_k = 2(R_x(t)/c²) dt = 2/a. (9.4.3)

Рис. 9.4.3. Спектр сигнала.

Отсюда следует, что чем больше a, тем меньше время ковариации процесса. При a Þ 0 T_k Þ ¥ и процесс вырождается в детерминированный (стремится к постоянной составляющей). При a Þ ¥ T_k Þ 0 и процесс вырождается в белый шум с некоррелированными отсчетами даже на соседних временных точках.

Двусторонняя спектральная плотность сигнала:

S_x(w)=R_x(t) exp(-jwt) dt= ac²/(a²+w²). (9.4.4)

Односторонняя спектральная плотность:

G_x(w)= 2ac²/(a²+w²). (9.4.5)

Ширина спектра телеграфного сигнала:

B_k =G_x(w) dw/G_x(0) ºS_x(w) dw/S_x(0) = ap. (9.4.6)

Отсюда следует, что спектр случайного процесса тем шире, чем меньше интервал ковариации процесса.

Белый шумявляется стационарным случайным процессом q(t), у которого автокорреляционная функция описывается дельта - функцией Дирака и, соответственно, спектральная плотность мощности не зависит от частоты и имеет постоянное значение W_q(f) = s², равное дисперсии значений q(t). Другими словами, все спектральные составляющие белого шума имеют одинаковую мощность (как белый цвет содержит все цвета видимого спектра). По существу, это идеализированный случайный процесс с бесконечной энергией. Но в случае постоянства спектральной плотности мощности случайного процесса в конечном диапазоне частот введение такой идеализации позволяет разрабатывать достаточно легко реализуемые оптимальные методы фильтрации. Многие помехи в радиотехнике, в технике связи и в других отраслях, в том числе в информатике, рассматривают как белый шум, если эффективная ширина спектра сигналов B_s много меньше эффективной ширины спектра шумов B_q

B_s/B_q << 1,

и спектральная плотность мощности шумов слабо изменяется в интервале спектра сигнала. Понятие "белый шум" определяет только спектральную характеристику случайного процесса, а, следовательно, под это понятие подпадают любые случайные процессы, имеющие равномерный энергетический спектр и различные законы распределения.

Если частотный диапазон спектра, на котором рассматриваются сигналы и помехи, равен 0-В, то спектральная плотность шума задается в виде:

W_q(f)=s², 0£ f £B; W_q(f)=0, f > B, (9.4.7)

при этом корреляционная функция шума определяется выражением:

R_q(t)= s² B×sin(2pBt)/2pBt. (9.4.8)

Эффективный интервал корреляции:

T_k = 2|R_q(t)|dt /R_q(0). (9.4.9)

Рис. 9.4.4. Функции корреляции белого шума в частотном интервале 0-В.

Реальный интервал корреляции целесообразно определять по ширине главного максимума функции R_q(t) (значения t при первых пересечениях нулевой линии), в котором сосредоточена основная часть энергии шумов, при этом T_k = 1/В и BT_k = 1 > 1/2, т.е. соотношение неопределенности выполняется.

Как следует из всех этих выражений и наглядно видно на рис. 9.4.4, при ограничении частотного диапазона в шумах появляется определенная корреляция между значениями, и, чем меньше частотный диапазон шумов, тем больше их радиус корреляции. По существу, ограничение шумов определенным частотным диапазоном эквивалентно фильтрации белого шума частотным фильтром с соответствующей шириной полосы пропускания, при этом, корреляционная функция импульсного отклика фильтра свертывается с дельта – функцией белого шума.

Модель белого шума q(t) можно формировать как случайную по времени (аргументу) последовательность дельта - импульсов d(t_i) со случайными амплитудными значениями a_i:

q(t) = S_i a_i d(t-t_i), (9.4.10)

которая удовлетворяет условиям статистической однородности: постоянное среднее число импульсов в единицу времени и статистическая независимость появления каждого импульса от предыдущих. Такой поток импульсов, который называют пуассоновским, является некоррелированным и имеет равномерный спектр плотности мощности:

W_q(w) = c² = Ns_a²,

где N - число импульсов на интервале Т реализации случайного процесса, s_a² -дисперсия амплитуд импульсов.

Спектральное описание белого шума оказывается удобным при учете влияния на него амплитудно-частотных характеристик различных устройств. Если на входе фильтра с импульсным откликом h(t) действует белый шум q(t), то сигнал на выходе фильтра:

g(t) = h(t) ③ q(t) = h(t) ③ S_i a_i d(t-t_i) =S_i a_i h(t-t_i), (9.4.11)

т.е. выходной сигнал будет представлять собой последовательность сигналов импульсной реакции фильтра h(t) с амплитудой a_i, при этом автокорреляционная функция и спектр мощности выходного потока также становятся подобными ФАК и спектру мощности импульсной реакции фильтра, и в первом приближении определяются выражениями:

R_g(t)N s_a² R_h(t) = c² R_h(t), (9.4.12)

W_g(w) N s_a² |H(w)|² = c² |H(w)|². (9.4.13)

Этот результат известен как теорема Кэмпбелла.

Гауссовый шум возникает при суммировании статистически независимых белых шумов и имеет следующую функцию корреляции:

R_x(t) = a exp(-2ps²t²). (9.4.14)

Спектральная плотность шумов:

S_x(f) = (a/s) exp(-f²/2s²), - ¥ < f < ¥. (9.4.15)

Эффективные шумовые ширина спектра и время ковариации:

B_k = s/2 = 1.25s, T_k = 1/s= 0.4/s. (9.4.16)

Соотношение неопределенности превращается в равенство: B_kT_k = 1/2.

Гауссовые случайные процессыпреобладают в практических задачах. Случайный процесс x(t) называется гауссовым, если для любого набора фиксированных моментов времени t_n случайные величины x(t_n) подчиняются многомерному нормальному распределению. Плотность вероятностей мгновенных значений x(t) эргодического гауссового процесса определяется выражением:

p(x) = (s_x)^-1 exp(-(x-m_x)²/2s²). (9.4.17)

Среднее значение и его оценка по достаточно большому интервалу Т:

m_x =x p(x) dx, m_x » (1/T)x(t) dt.

При нулевом среднем (или при центрировании функции x(t) для упрощения расчетов) дисперсия не зависит от переменной t, и равна:

s_x² =x² p(x) dx.

Оценка дисперсии при больших значениях Т:

s_x² » (1/T)x²(t) dt =S_x(f) df =G_x(f) df. (9.4.18)

Следовательно, плотность вероятностей гауссового процесса полностью характеризуется спектральной плотностью, по которой можно определить значение дисперсии процесса. На вид спектральных плотностей и соответствующих им ковариационных функций никаких ограничений не накладывается.