рефераты конспекты курсовые дипломные лекции шпоры

Реферат Курсовая Конспект

Пространства функций

Пространства функций - раздел Связь, Введение в теорию сигналов и систем Пространства Функций Можно Считать Обобщением Пространства N-Мерных Сигналов ...

Пространства функций можно считать обобщением пространства N-мерных сигналов – векторов на аналоговые сигналы, как бесконечномерные векторы, с некоторыми чисто практическими уточнениями.

Нормирование метрических параметров. Норма функций в пространстве L2[a, b] определяется выражением:

||s(t)|| =.

Нетрудно заключить, что чем больше интервал [a, b] в этой формуле, тем больше (при прочих равных условиях) будет значение нормы. При анализе и сравнении сигналов (как аналоговых, так и многомерных дискретных) такое понятие не всегда удобно, и вместо него очень часто используют понятие нормы, нормированной относительно длины интервала[a, b]. Для символьного обозначения нормирования будем применять знак Ñ:

||s(t)||Ñ =, ||sn||Ñ =.

Метрика сигналов (расстояние между сигналами) при аналогичном нормировании:

rÑ(s(t), v(t)) =, rÑ(sn, vn) =

Эти выражения применяются для вычисления среднеквадратического расхождения сигналов или среднеквадратической погрешности (стандартный индекс погрешности в абсолютных единицах измерений - s) выполнения какой-либо операции при сравнении ее результата с теоретически ожидаемым или априорно известным.

Нормированное скалярное произведение сигналов:

ás(t), v(t)ñÑ =s(t)v(t) dt = ||s(t)||Ñ ||v(t)||Ñ cos j.

ásn, vnñÑ =(1/N)sn vn = ||sn||Ñ ||sn||Ñ cos j.

Косинус угла (коэффициент корреляции) между сигналами (функциями) не изменяет своих значений при вычислении как по нормированным, так и по ненормированным значениям скалярного произведения и нормы сигналов (значения нормировки в числителе и знаменателе выражения (2.1.8) сокращаются). Взаимная перпендикулярность функций определяется аналогично взаимной перпендикулярности векторов условием нулевого значения скалярного произведения.

Норма, метрика и скалярное произведение периодических функций обычно нормируются на длину одного периода Т.

Ортогональные сигналы.Два сигнала называются ортогональными (orthogonal), если имеют нулевое скалярное произведение:

áu(t), v(t)ñ =u(t)v(t) dt = 0.

Соответственно, два таких сигнала в своем функциональном пространстве являются взаимно перпендикулярными (угол между сигналами равен j = 90о), полностью независимыми друг от друга (некоррелированными, r = cos j = 0), и имеют нулевую энергию взаимодействия (Euv = 0).

На рисунке 2.3.1 приведены примеры взаимно ортогональных сигналов. Нулевое скалярное произведение двух левых сигналов обеспечивается их формой (равна нулю сумма положительных и отрицательных значений произведения сигналов), а двух правых - взаимным расположением (ненулевые значения сигналов не имеют общих координат).

Рис. 2.3.1. Ортогональные сигналы.

Попутно заметим, что энергия и мощность суммы ортогональных сигналов обладают свойством аддитивности, т.к. имеют нулевое значение скалярного произведения и, соответственно, нулевую энергию взаимодействия.

Ортонормированный базис пространства. При распространении положений векторного базисного пространства на функциональное пространство L2[a, b], в качестве координатного базиса пространства мы должны использовать совокупность функций {u0(t), u1(t), u2(t), …}, в пределе - бесконечную, которая должна быть системой ортогональных функций {uk(t), k=0, 1, 2, …}, т.е. все функции на этом отрезке должны быть взаимно ортогональны:

áum(t), un(t)ñ =um(t) un(t) dt = 0, m = 1, 2, ... ; n = 1, 2, ... ; m ¹ n.

Система ортогональных функций на интервале [a, b] будет ортонормированной (orthonormal functions), если все функции системы при m=n имеют единичную норму, т.е. выполняются условия:

áum(t), um(t)ñ = ||um(t)||2 =(um(t))2 dt = 1, ||um(t)|| = 1, m = 1, 2, ....

Эти условия можно записать в следующей обобщенной форме:

um(t)·un*(t) dt = dm,n.

Система ортогональных функций всегда может быть превращена в ортонормированную путем нормировки, т.е. деления всех функций на их норму.

Разложение сигнала в ряд.Произвольный сигнал s(t) Î H (пространство Гильберта), заданный на интервале [a, b], может быть разложен в ряд по упорядоченной системе ортонормированных базисных функций uk(t):

s(t) =ckuk(t). (2.3.2)

Для нахождения значений коэффициентов сk умножим обе части данного выражения на базисную функцию um(t) с произвольным номером m и проинтегрируем результаты по переменной t, при этом получим:

s(t)um(t) dt =ck umuk dt.

С учетом ортонормированности функций ui(t), в правой части этого равенства остается только один член суммы с номером m = k при ukuk dt =1, который, по левой части уравнения, представляет собой скалярное произведение сигнала и соответствующего m = k базисного вектора, т.е. проекцию сигнала на соответствующее базисное направление:

ck =s(t)uk(t) dt. (2.3.2)

Таким образом, в геометрической интерпретации коэффициенты сk представляют собой проекции вектор - сигнала s(t) на соответствующие базисные направления uk(t), т.е. координаты вектора s(t) по координатному базису, образованному системой ортогональных функций u(t), в пределе - бесконечномерной. При практическом использовании количество членов ряда (2.3.2) ограничивается определенным значением N, при этом для любого значения N совокупность коэффициентов ck обеспечивают наименьшее по средней квадратической погрешности приближение к заданному сигналу.

Соответственно, энергия взаимодействия двух сигналов x(t) и y(t) может вычисляться по скалярному произведению их координатных проекций, которое, с учетом взаимной ортогональности всех проекций, будет равно:

áx(t), y(t)ñ =x(t)y(t) dt =[anun(t)] [bmum(t)] dt =an×bn. (2.3.3)

Косинус угла между векторами x(t) и y(t) с использованием выражения (2.3.3):

cos j =an×bn /(||x(t)||×||y(t)||).

Возможность разложения непрерывных сигналов и функций в обобщенные ряды по системам ортогональных функций имеет огромное принципиальное значение, так как позволяет вместо изучения несчетного множества точек сигнала ограничиться счетной системой коэффициентов ряда.

К системам базисных функций, которые используются при разложении сигналов, предъявляют следующие основные требования:

- для любого сигнала ряд разложения должен сходиться;

- при ограничении ряда по уровню остаточной погрешности расхождения с заданным сигналом количество членов ряда должно быть минимальным;

- базисные функции должны иметь достаточно простую аналитическую форму;

- коэффициенты разложения в ряд должны вычисляться относительно просто.

Согласно теореме Дирехле, любой сигнал s(t), имеющий конечное число точек нарушения непрерывности первого рода, и конечный по энергии на интервале [a, b], может быть разложен по системе ортонормальных функций, если существуют интегралы модуля сигнала и модуля его первой производной, т.е.:

|s(t)| dt < ¥, |s'(t)| dt < ¥ .

Ортонормированные системы функций хорошо известны в математике. Это полиномы Эрмита, Лежандра, Чебышева, функции Бесселя, Лагерра и целый ряд других. Выбор типа функций в качестве координатного базиса сигнального пространства, как и координатных осей для обычного трехмерного пространства (декартовы, цилиндрические, сферические и пр.), определяется удобством и простотой последующего использования при математической обработке сигналов. При спектральном анализе сигналов используются, в основном, два вида ортонормированных функций: гармонические функции и функции Уолша.

На интервале [-p, p] рассмотрим систему следующих гармонических функций:

{1, sin t, sin 2t, …, sin kt}, k = 1, 2, 3, … (2.3.4)

Вычислим нормированные на интервал скалярные произведения системы:

á1, sin ktñÑ =(1/2p)sin kt dt = (1/2kp) [cos kp - cos(-kp)] = 0, k = 1, 2, 3, …

ásin mt, sin ntñÑ =(1/2p)sin mt sin nt dt =(1/4p){cos (m+n)t – cos (m-n)t} dt =

= = 0, при m ¹ n.

Следовательно, система (2.3.4) является системой взаимно ортогональных функций. Норма функций:

||sin kt||2=(1/2p)sin2 kt dt= (1/4p)(1-cos 2kt) dt==1/2.

||sin kt||Ñ = 1/, k = 1, 2, 3, …

Соответственно, для превращения системы (2.3.4) в ортонормированную следует разделить все функции системы на значение нормы (рис. 2.3.2):

{1, uk(t) =sin kt}, k = 1, 2, 3, … (2.3.4')

Рис. 2.3.2. Ортонормированный базис гармонических функций.

Аналогичным образом можно убедиться в ортонормированности косинусной системы гармонических функций:

{1, uk(t) =cos kt}, k = 1, 2, 3, …, (2.3.5)

и объединенной синус-косинусной системы:

{1, uk(t) =sin kt, uk(t) =cos kt}, k = 1, 2, 3, … (2.3.6)

Наибольшее распространение в качестве базисных функций частотного разложения нашли комплексные экспоненциальные функции exp(pt) при p = jf (преобразование Фурье) и p = s+jf (преобразование Лапласа), от которых с использованием формул Эйлера

exp(jwt) = cos(wt) + j sin(wt), exp(-jwt) = cos(wt) - j sin(wt),

cos(wt) = [ехр(jwt)+exp(-jwt)]/2, sin(wt) = [ехр(jwt)-exp(-jwt)]/2j

всегда можно перейти к вещественным синус-косинусным функциям. Термин "частотное разложение" обязан своим происхождением независимой переменной частотного представления сигналов, которая измеряется в единицах, обратных единицам времени, т.е. в единицах частоты f = 1/|t|. Однако понятие частотного преобразования не следует связывать только с временным представлением сигналов, т.к. математический аппарат преобразования не зависит от физического смысла переменных. Так, например, при переменной "х", как единице длины, значение f будет представлять собой пространственную частоту - число периодических изменений сигнала на единице длины с размерностью 1/|х|.

Рис. 2.3.3. Функции Уолша.

Ортонормированная система функций Уолша, по существу, является предельной модификацией системы периодических функций с кратными частотами, при этом функции принимают значения только ±1. Пример четырех первых функций Уолша на интервале Т от –0,5 до 0,5 приведен на рис. 2.3.3. Ортогональность и нормированность функций следует из принципа их построения. Стандартное математическое обозначение функций Уолша: wal(k,х), где k = 0,1,2, … – порядковый номер функции, х = t/T – безразмерная координата (нормированная на интервал Т независимая переменная).

Наряду с функциями Уолша применяются также две связанные с ними системы: четные и нечетные функции cal(n,х) = wal(2n,х), – аналогичные косинусам, и sal(n,х) = wal (2n-1,х), – аналогичные синусам.

При разложении сигналов форма спектров Уолша практически тождественна спектрам гармонических функций.

Разложение энергии сигнала.Допустим, что сигнал s(t) разложен в обобщенный ряд Фурье по гармоническим функциям. Вычислим энергию сигнала непосредственной подстановкой выражения (2.3.2) в выражение (2.2.2):

Es =s2(t) dt =cmcnumun dt =cmcn umun dt. (2.3.7)

В этом выражении, в силу ортонормированности базисной системы, отличны от нуля только члены с номерами m = n. Отсюда:

Es =s2(t) dt =cn2, (2.3.8)

т.е. при корректном разложении сигнала в обобщенный ряд Фурье энергия сигнала не изменяется, и равна сумме энергии всех составляющих ряда. Это соотношение называют равенством Парсеваля.

– Конец работы –

Эта тема принадлежит разделу:

Введение в теорию сигналов и систем

Тематика практических работ введение в теорию сигналов.. Содержание.. Общие сведения и понятия..

Если Вам нужно дополнительный материал на эту тему, или Вы не нашли то, что искали, рекомендуем воспользоваться поиском по нашей базе работ: Пространства функций

Что будем делать с полученным материалом:

Если этот материал оказался полезным ля Вас, Вы можете сохранить его на свою страничку в социальных сетях:

Все темы данного раздела:

Тематика практических работ
Работы выполняются на компьютерах по типовым программам с заданием индивидуальных параметров моделирования, расчетов и обработки данных для каждого студента группы.

Пространство сигналов
Важнейшее свойство аналоговых и дискретных сигналов заключается в том, что их линейные комбинации также являются аналоговыми или дискретными сигналами. Линейные комбинации цифровых сигналов, в силу

Мощность и энергия сигналов
Понятия мощности и энергиив теории сигналов не относятся к характеристикам каких-либо физических величин сигналов, а являются их количественными характеристиками, отража

Функции корреляции сигналов
Функции корреляции сигналов применяются для интегральных количественных оценок формы сигналов и степени их сходства друг с другом. Автокорреляционные функции (АКФ) сигналов

Математическое описание шумов и помех
Шумы и помехи (noise). При детектировании сигналов в сумме с основным информационным сигналом одновременно регистрируются и мешающие сигналы - шумы и помехи самой различ

Разложение сигналов по единичным импульсам
Единичные импульсы. В качестве математической модели единичного импульса при анализе аналоговых сигналов используют дельта-функцию. Дельта-функция

Свертка (конволюция) сигналов
Интеграл Дюамеляпозволяет определять реакцию системы на воздействие s(t) в текущем времени по ее переходной функции g(t) на единичный скачок входного воздействия:

Мощность и энергия сигналов
Частотное представление применяется не только для спектрального анализа сигналов, но и для упрощения вычислений энергии сигналов и их корреляционных характеристик. Как уже рассматривалось

Энергетические спектры сигналов
Скалярное произведение сигналов. Энергия суммы двух произвольных сигналов u(t) и v(t) определяется выражением: E =

Автокорреляционные функции сигналов
Понятие автокорреляционных функций сигналов. Автокорреляционная функция (АКФ, CF - correlation function) сигнала s(t), конечного по энергии, является количественной инте

Взаимные корреляционные функции сигналов
Взаимная корреляционная функция (ВКФ) разных сигналов (cross-correlation function, CCF) описывает как степень сходства формы двух сигналов, так и их взаимное расположени

Спектральные плотности корреляционных функций
Спектральная плотность АКФ может быть определена из следующих простых соображений. В соответствии с выражением (6.1.1) АКФ представляет собой функцию скалярного

Задачи дискретизации функций
Сигналы и системы дискретного времени. Значения дискретного сигнала определены только при дискретных значениях времени или любой другой независимой переменной. Обычно ег

Равномерная дискретизация
Спектр дискретного сигнала. Допустим, что для обработки задается произвольный аналоговый сигнал s(t), имеющий конечный и достаточно компактный фурье-образ S(f). Равномер

Исследование и разработка основных правил ограничения интервала суммирования при интерполяции данных рядом Котельникова-Шеннона
Рис. 7.2.9. Интерполяция по Котельникову-Шеннону. Ряд (7.2.7) позволяет простым введе

Дискретизация по критерию наибольшего отклонения
Задача абсолютно точного восстановления сигнала на практике обычно не ставится, в отличие от задачи минимального физического объема информации, при котором сохраняется возможность ее восстановления

Адаптивная дискретизация
Частота равномерной дискретизации информации рассчитывается по предельным значениям частотных характеристик сигналов. Адаптивная дискретизация ориентирована на динамические характеристики сигнала,

Исследовать и разработать программу оценки спектра дискретного сигнала при неравномерном шаге дискретизации
Самыми простыми способами восстановления сигналов при адаптивной дискретизации являются линейная и квадратичная интерполяции, которые выполняются по уравнениям: f(x)лин = а

Квантование сигналов
Дискретизация аналоговых сигналов с преобразованием в цифровую форму связана с квантованием сигналов. Сущность квантования состоит в замене несчетного множества возможных значений функции, в общем

Децимация и интерполяция данных
Децимацией (прореживанием, сокращением) цифровых данных принято называть уплотнение данных с удалением избыточной информации. Последнее имеет место, если шаг дискретизации данных был установлен изл

Преобразование Фурье
Дискретное преобразование Фурьеможет быть получено непосредственно из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, fn = nDf):

Преобразование Лапласа
Дискретное преобразование Лапласа (ДПЛ), как и ДПФ, может быть получено из интегрального преобразования дискретизаций аргументов (tk = kDt, wn = nDw): Y(p) =

Z - преобразование сигналов
Определение преобразования. Распространенным способом анализа дискретных цифровых последовательностей является z-преобразование (z-transform). Произвольной непр

Дискретная свертка (конволюция)
Свертка – основной процесс в цифровой обработке сигналов. Поэтому важно уметь эффективно ее вычислять. Уравнение дискретной свертки двух функций (сигналов) може

Случайные процессы и функции
Случайный процесс описывается статистическими характеристиками, называемыми моментами. Важнейшими характеристиками случайного процесса являются его стационарность, эргодичность и спектр мощности.

Функции спектральной плотности
Каноническое разложение случайных функций. Введем понятие простейшей случайной функции, которая определяется выражением: X(t) = X×j(t), (9.2.1)

Преобразования случайных функций
Системы преобразования случайных функций.Пусть имеется система преобразования с одним входом, на который поступает (подается) входная случайная функция X(t) - функция

Модели случайных сигналов и помех
Наиболее распространенными моделями случайных сигналов и помех являются телеграфный сигнал, белый шум, гауссовый случайный процесс, гауссовый шум.

Хотите получать на электронную почту самые свежие новости?
Education Insider Sample
Подпишитесь на Нашу рассылку
Наша политика приватности обеспечивает 100% безопасность и анонимность Ваших E-Mail
Реклама
Соответствующий теме материал
  • Похожее
  • Популярное
  • Облако тегов
  • Здесь
  • Временно
  • Пусто
Теги