Случайные события и их характеристики

Случайное событие– это результат какого-либо одиночного опыта. Например, событием может быть выход из строя аппаратуры, появление того или иного сигнала, получение оценки студентом и др. Всем этим и другим событиям может быть сопоставлена та или иная вероятность.

(Группы событий)

Так, требуемая вероятность устойчивой работы (надежность) телекоммуникационной сети должна составлять или соответственно: вероятность ее отказа или нарушения . Появление сигнала «1» при передаче бинарной информации осуществляется с вероятностью , такая же вероятность появления «0»: .

Для каждой из групп событий выполняется то свойство, что сумма вероятностей полной группы событий равна 1.

 

.

Таким образом, при определении вероятностей для группы событий необходимо определить всю их полную группу и сопоставить для каждого из событий ту или иную вероятность.

К характеристикам случайных событий относят их средние значения, дисперсии и коэффициент корреляции.

Среднее вероятностное значение - событий вычисляется как взвешенная сумма этих событий:

.

Вероятности могут иметь различное значение для каждого из событий , однако они должны составлять полную группу событий, то есть .

На практике часто бывает, что , то есть все события равновероятны. В этом случае каждая из вероятностей , следовательно, будет справедливо выражение

.

 

Дисперсия случайных событий характеризует величину разброса этих событий относительно среднего:

 

.

 

Часто используется среднеквадратическое отклонение

 

Степень вероятностной или статистической связи между зависимыми событиями А и В определяются коэффициентом корреляции

 

,

 

где где - вероятность совместных событий, и соответственно: дополнения к единице вероятностей и , то есть , .

В задачах синтеза оптимальных правил приема сигналов используется Формула Байеса

 

или .

- априорные вероятности

- условные вероятности события А при гипотезах

апостериорные вероятности (произошло событие А),

- вероятность события А.

Так, если и - есть гипотезы о том: что одно из двух передавалось: 0 или 1, то и являются априорными вероятностями. После того, как осуществился прием (произошло событие А), получаем апостериорную вероятность и . В этом случае априорная и апостериорная вероятность связаны соотношением

.

Приведенные формулы носят также название теоремы гипотез, поскольку они используются в задачах проверки гипотез против альтернатив .

Пример 1

Определить апостериорные вероятности появления 1 и 0 при вероятностях перехода (условных вероятностях)

;

,

и априорных вероятностях символов

.

Решение

 

- вероятность ошибочного приема,

- вероятность правильного приема.

Апостериорные вероятности определяем по теореме Байеса

 

 

,

,

,

.