Распределения случайных величин различаются по различным законам и по параметрам этих законов.
Равномерное распределение. При равномерном распределении случайная величина может принимать значения, принадлежащие лишь отрезку , причем вероятности попадания в любые внутренние интервалы одинаковой ширины равны. Тогда плотность вероятности
Функцию распределения находят путем интегрирования:
Математическое ожидание
,
естественно, совпадает с центром отрезка .
Как легко проверить, дисперсия случайной величины, имеющей равномерное распределение вероятности,
.
Плотность вероятности и функция распределения равномерно распределенной случайной величины представлены на рис.5.2.
По равномерному закону распределена фаза случайного процесса
Гауссово (нормальное) распределение. В теории случайных сигналов фундаментальное значение имеет гауссова плотность вероятности
,
содержащая два числовых параметра и . График данной функции представляет собой колоколообразную кривую с единственным максимумом в точке (рис. 5.3).
Непосредственным вычислением можно убедиться, что параметры гауссова распределения имеют смысл соответственно математического ожидания и дисперсии: ; .
Функция распределения гауссовой случайной величины
.
Замена переменной дает
.
Здесь - хорошо известная функция, так называемый интеграл вероятностей:
.
График функции (рис. 5.2) имеет вид монотонной кривой изменяющейся от нуля до единицы.
Данный закон является широко распространенным, часто и обоснованно используется в теории связи. В соответствии с теоремой Шермана нормальный закон является наилучшей аппроксимацией неизвестного распределения. Важность закона подтверждается центральной предельной теоремой теории вероятностей, в соответствии с которой случайная величина , образованная как сумма -большого числа других случайных величин , соизмеримых друг с другом, каждая из которых имеет произвольное распределение, имеет распределение, приближающееся к нормальному закону.
В каналах связи часто возникает многолучевый характер распространения радиоволн, поэтому мгновенные значения сигнала являются случайно замирающимися и в силу выполнения условий центральной предельной теоремы подчиняется нормальному закону.
Рэлеевское распределение. Плотность распределения такой случайной величины записывается выражением
,
в котором - параметр распределения.
Плотность вероятности рэлеевской случайной величины представлена на рис.5.5.
Функция распределения рэлеевской случайной величины запишется как
.
Рэлеевский закон хорошо аппроксимирует значения амплитуды случайного замирающего сигнала в радиоканалах связи.
Алгоритм формирования такой случайной величины имеет вид
.
и - случайные величины, распределенные по нормальному закону.
Райсовское распределение. В некоторых литературных источниках распределение для таких случайных величин называется обобщенным законом Рэлея, законом Рэлея-Райса, распределением Райса. Плотность распределения такой случайной величины имеет вид
,
где - параметр распределения (СКО), характеризующий разброс переменной компоненты райсовской случайной величины; - математическое ожидание; - модифицированная функция Бесселя 1-го рода нулевого порядка.
Плотность вероятности райсовской случайной величины представлена на рис.5.6.
Алгоритм формирования такой случайной величины имеет вид
.
Функция распределения Райса не выражается в элементарных функциях.
Райсовским законом описываются огибающая смеси сигнала и помехи.