Расчет линеаризованной системы

Расчет линеаризованной системы. Для расчета системы в линеаризованным виде по формулам, необходимо линеаризовать систему дифференциальных уравнений, т. е. заменить три нелинейных элемента линейными как это показано в 2.5. Для того чтобы получить коэффициенты статистической линеаризации нам необходимо знать параметры случайного процесса на входе в нелинейность математическое ожидание и дисперсию. Параметр входа в третью нелинейность имеется в векторе состояний.

Поэтому его дисперсия присутствует в матрице ковариации. Для нахождения дисперсий на входе в первую и вторую нелинейности произведем следующие действия. Преобразуем систему таким образом чтобы входом системы оставался один из входов в нашу систему, а выходом вход в нелинейность два входа рассматриваются отдельно, а затем их дисперсии складываются. Итак, посчитаем дисперсии от воздействий и, на входах первой и второй нелинейности Назовем сигнал на входе в первую нелинейность х, во вторую y тогда уравнение связывающие x и будут иметь вид Здесь коэффициенты статистической линеаризации соответственно первой и второй нелинейностей, далее Следовательно передаточная функция будет иметь вид Спектральная плотность случайного процесса на входе имеет вид Тогда дисперсия на входе первой нелинейности будет иметь вид В теории известно, что интегралы вида где В аналитической форме имеют вид, где Рассмотрим отдельно знаменатель нашего интеграла, приведенный к виду Тогда Отсюда следует Откуда Рассуждая аналогичным образом получим остальные дисперсии Отсюда следует, что дисперсия на входе в первую нелинейность имеет вид На входе второй нелинейности Далее необходимо получить выражения для самих коэффициентов статистической линеаризации, воспользовавшись выведенными раньше соотношениями.

Легко видеть, что все интегралы в этих формулах будут иметь один из трех, ниже перечисленных, видов Эти интегралы, считаются в численном виде и получаются с помощью функции ошибок и гауссовской плотности вероятности.

Они реализованы в программе в виде функций, тогда коэффициенты статистической линеаризации для первого нелинейного элемента будут иметь вид K0k2J10 s, m,D 1l1J00 s, m,D 1 k1J1-s, s,m,D,0k2J1s,0,m,D,1l2J0s,0,m,D,1 K1k2J20 s, m,D 1l1J10 s, m,D 1k1J1-s, s,m,D,0 k2J2s,0,m,D,1l2J1s,0,m,D,1-mK0D Для второго K0-sJ00 s, m,D 1J1-s, s,m,D,0sJ0s,0,m,D,1 K1-sJ10 s, m,D 1J2-s, s,m,D,0sJ1s,0,m, D,1 smJ00 s, m,D 1-mJ1-s, s,m,D,0-smJ0s,0,m,D,1D Для третьего K0-sJ00 s, m,D 1J1-s, s,m,D,0sJ0s,0,m,D,1 K1-sJ10 s, m,D 1J2-s, s,m,D,0sJ1s,0,m,D,1 smJ00 s, m,D 1-mJ1-s, s,m,D,0-smJ0s,0,m,D,1D Линеаризованная система должна иметь вид Воспользовавшись уравнениями для нелинейной системы матрицы можно записать Легко видеть, что матрица A на каждом шаге интегрирования будет изменяться, в зависимости от коэффициентов линеаризации, которые в свою очередь зависят от дисперсий на входе нелинейных элементов, которые зависят от дисперсий на входе.

Следовательно на каждом шаге интегрирования нашей системы мы должны интегрировать дифференциальное уравнение для матрицы ковариаций K Реализуя все вышесказанное получим график изменения вектора состояний линеаризованной системы Рисунок 2. Эволюция матрицы ковариации по входным воздействиям имеет вид Рисунок 3 Дисперсия выходной координаты Рисунок 4 I.