Физическая модель объекта

Физическая модель объекта. Исследуемый объект представим в виде нагретой зоны, расположенной в некоторой теплопроводящей зоне рис. 1. 121 Рис.1 Модель объекта Размеры блока по осям координат составляют lx, ly. Температурное поле нагретой зоны для нестационарной задачи описывается дифференцальным уравнением второго порядка.

На нынешней поверхности блока имеет место конвективный теплообмен. По закону Ньютона - Рихмана удельный тепловой поток q от твердой поверхности к газовой среде равен, где коэффициент теплообмена между поверхностью блока и средой Т и Тс температуры поверхности и среды.

Начальное значение температуры нагретой зоны То. Решение двумерной стационарной задачи будем проводить численным разностным методом, используя локально-одномерную схему. Изучаемый объект разобьем сеткой, которая в общем случае может быть неравномерной. Координаты узлов пространственной сетки обозначим следующим образом по оси X n1N по оси Ym1 M. В пределах рассматриваемой зоны lx, ly производим равномерное разбиение. Координаты узлов и шаг разбиения определяется следующими выражениями хn-1 hx, hxlxN-1 ym-1 hy, hy lyM-1 Фактически нагретая зона разбивается на прямоугольные ячейки с центрами в узлах пространственной сетки рис.2. Рис.2 Разбивка на зоны Время расчета max разбиваем на равномерные промежутки. Общее число временных шагов J max. В локально-одномерных схемах многомерный процесс на каждом временном шаге представляется как результат последовательной реализации соответствующих одномерных процессов, каждый из которых начинается от распределения поля, возникающего после окончания предыдущего одномерного процесса.

Таким образом, происходит разделение задачи по пространственным переменным.

Решение многомерной задачи сводится к расчету на каждом временном шаге набора одномерных задач. Одномерные задачи будем решать методом прогонки. На первом этапе область заменяется набором теплоизолированных между собой горизонтальных стержней, параллельных оси X. Стержни разбиваются на элементарные ячейки, для каждой ячейки методом баланса тепловых потоков записывается соответствующее конечно-разностное уравнение.

В общем виде закон сохранения энергии для элементарной ячейки с порядковым номером n имеет следующий смысл поток от n - 1-й ячейки в n -ю поток от n 1-й ячейки в n -ю мощность источников в n- й ячейке мощность, расхо- дуемая на нагрев n-й ячейки 0 Модель стержней с ячейками, расположенными вдоль оси X, показана на рис.3. Ячейки длиной hx располагаются симметрично относительно узлов 2 N-1. Крайние ячейки 1 и N имеют длину hx2. Площадь поперечного сечения стержней постоянная, материал нагретой зоны имеет однородные теплофизические свойства, внутренние источники тепла распределены по объему равномерно.

В связи с этим в дальнейших выводах можно поделить расчетные выражения на площадь поперечного сечения и перейти к удельным тепловым потокам и элементарным объемам hx2 и hx. Температуры в расчетных узлах в заданный момент времени будем находить последовательно с помощью трех промежуточных функций. На первом этапе рассчитывается промежуточная функция Vj n, m,k в момент времени j в узлах n1N каждого из MxY стержней, при последовательном переборе последних.

Фактически мы находим распределение температур по узлам стержней, теплоизолированных между собой. Разностные уравнения для первой промежуточной функции U j n, m Узел n1 Рассмотрим элементарную ячейку 0,hx2 прилегающую к границе x0. Удельный тепловой поток поток, отнеснный к площади поперечного сечения, втекающий в ячейку через границу x0 определяется на основании закона Ньютона - Рихмана как, где , -температурный перегрев 1-й точки относительно окружающей среды на j-м шаге. Считаем, что тепловой поток распространяется в положительном направлении оси X. Знак учитывает направление теплового потока от среды к поверхности и величину перегрева. Тепловой поток, выходящий из ячейки через границу х hx2 на основании закона Ньютона, равен, где - коэффициент теплопроводности температуры в узлах 1 и 2. Считаем, что по направлению Х внутренними источниками элементарной ячейки выделяется мощности, остальные мощности учтм при рассмотрении направлений Y. Мощность, расходуемая на нагрев элементарной ячейки массой за время равна, где с - тепломкость плотность.

Функция представляет температуру на предыдущем j-1 временном шаге. На первом шаге считаем. Из закона сохранения энергии следует, тогда откуда, после преобразования получаем 1 Узлы n2N-1 Уравнения теплового баланса записываются аналогично.

Длина элементарной ячейки hx, внутренние источники элементарной ячейки выделяют мощности Уравнение теплового баланса После преобразований 2 Узел nN. Рассмотрим элементарную ячейку lx-hx2, lx прилегающую к границе x lx. Удельный тепловой поток, втекающий в ячейку через границу x lx-hx2 равен Тепловой поток, выходящий из ячейки через границу x lx, равен Внутренними источниками элементарной ячейки выделяется мощности. Мощность, расходуемая на нагрев элементарного объма Из закона сохранения энергии следует откуда после преобразования получаем 3 Расчтные выражения для второй промежуточной функции Уравнения для второй промежуточной сеточной функции по направлению Y записываются аналогично 1-3 со следующими отличиями 1. Число расчтных узлов m1M. 2. Шаг сетки равен hy. 3. Вторая промежуточная сеточная функция записывается на место функции в уравнениях 1-3. 4. Сеточная функция записывается на место функции в уравнениях 1-3. Модель стержней, расположенных на уровнях k1,K вдоль оси Y показана на рисунке 4. Узел m1 4 Узел m2 M-1 5 Узел mM 6 Приведенные уравнения 1 6 справедливы для стержней из однородного материала.

Разбивка исходных расчетных областей должна осуществляться таким образом, чтобы узлы сетки равномерной или неравномерной размещались на внешних и внутренних границах заданных областей.

В самих уравнениях меняются только величины Б с qV в зависимости от зоны, в которой рассматривается узел. 4. Пример расчета данной модели.

Запишем уравнения для модели, приведенной на рис.2. Внутренняя зона располагается в узлах с координатами по оси Х mm1 m2-1 по оси Y nn1 n2 Стержни вдоль оси Х При mm1 m2 1 N 1. n1 2. n2 N-1 3. nN При m1 m1-1, m21 M 1 N 1. n1 2. n2 N-1 3. nN Стержни вдоль оси Y При n1 N 1 m1 m2 M 1. m1 2. m2 m1-2, m22 M 3. mm11 m2-1 4. mm2 5. mm21 6. mm1-1 7. mm1 8. mM 5.