Метод прогонки.
Перейдем к решению системы основных уравнений. Для нахождения решения Un, m на каждом временном шаге необходимо решать систему алгебраических уравнений с числом неизвестных N, которое может быть достаточно велико в реальных задачах несколько десятков или сотен.
Одним из лучших методов решения систем линейных алгебраических уравнений общего вида является метод последовательного исключения Гаусса с выбором главного элемента. Особенность системы состоит в том, что каждое уравнение для внутренних точек входят по три неизвестных, номера которых отличаются на единицу, а в первое и последнее уравнения для точек n1 и nN по два. Разбивка исходных расчетных областей должна осуществляться таким образом, чтобы узлы сетки равномерной или неравномерной размещались на внешних и внутренних границах заданных областей соседних неизвестных.
Эффективность алгоритма решения подобной разностной системы можно существенно повысить. Запишем систему уравнений в следующем виде для граничной точки n1 для внутренних точек n2 N-1 для граничной точки nN Выражения для коэффициентов аn, bn, cn, dn не трудно получить из соответствующих уравнений разностной системы.
Систему уравнений можно записать в матричной форме, причем в матрице отличны от нуля будут только коэффициенты, находящиеся на главной диагонали и на двух прилегающих к ней диагоналях. Трехдиагональный вид матрицы позволяет организовывать вычесления по методу Гаусса так, чтобы не производить операции с нулевыми элементами. Тем самым объем вычислений удается значительно уменьшить. Модификация метода Гаусса для системы уравнений с трехдиагональной матрицей называется методом прогонки. Рассмотрим этот алгоритм решения применительно к уравнениям.
Из первого уравнения для n1 можно выразить U1 через U2 , где Далее если подставить полученное выражение для U1 во второе уравнение для n1, то в нем останутся только неизвестные U2 и U3 Теперь можно выразить U2 через U3 в виде, где , Если аналогичную процедуру постановки выражения для Un в n1-ое уравнение вида повторить до n2 N-2 то в результате получим рекуррентные соотношения, связывающие температуры в точках n и n1 , в которых коэффициенты и, необходимые для расчета коэффициентов и по формулам определяются соотношениями.
После вычисления всех коэффициентов и до N-1-ых рассмотрим последнее уравнение при nN-1 совместно с уравнением исходной системы для nN Из решения этой системы двух уравнений найдем температуру в последней точке Теперь, двигаясь от точки N к точкам N-1, N-2 1 можно последовательно вычислить значения Un по формуле и таким образом найти решение во всех точках. Итак, кратко сформулируем алгоритм расчета по рассмотренному методу прогонки 1. Вычисляют коэффициенты и 2. Вычисляют коэффициенты и при n2 N-1 3. Определяют Un 4. Рассчитывают Un по в порядке убывания номера от N-1 до 1 Вычисление и называют прямым ходом прогонки, а вычисление Un в порядке убывания номера n обратным ходом.
Для решения системы по методу прогонки требуется примерно 9N арифметических действий, т.е. значительно меньше, чем N3 при использовании метода Гаусса для систем общего вида. Используя выше приведенную методику, решаем систему уравнений.
Прогонка по Х При mm1 m2 1. n1 an1 bn cn0 dn . 2. n2 N-1 an1 bn cn1 dn . 3. nN an1 bn cn0 dn. При m1 m1-1, m21 M 1. n1 an1 bn cn0 dn . 2. n2 N-1 an1 bn cn1 dn . 3. nN an1 bn cn0 dn. Прогонка по Y При n1 N 1. m1 am1 bm cn0 dm . 2. m2 m1-2, m22 M am1 bm cm1 dm . 3. mm11 m2-1 am1 bm cm1 dm . 4. mm2 am1 bm cm dm . 5. mm21 am1 bm cm dm . 6. mm1-1 am1 bm cm dm . 7. mm1 am1 bm cm dm . 8. mM am1 bm cm0 dm 6.