ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ДАННЫХ В ЦВМ

Санкт-Петербургский

Государственный университет аэрокосмического приборостроения

 

 

А.А.Ключарёв , О.В.Мишура, С.Г.Марковский

ПРЕДСТАВЛЕНИЕ ЦИФРОВЫХ ДАННЫ

В ЦВМ

Учебно-практическое пособие

Санкт-Петербург

к.т.н., доцент О.В Мишура. старший преподаватель С.Г Марковский.  

Позиционные системы счисления

Непозиционной системой называется такая, в которой значение символа не зависит от его места расположения в числе. Для образования числа в… XVI=X+V+I=10+5+1=1610 IX=X-I=10-1=910

Перевод чисел из одной системы счисления в другую.

Здесь различают три ситуации при переводе чисел:

- перевод числа из десятичной системы в систему с любым основанием;

- перевод числа из системы с любым основанием в десятичную;

- перевод числа из системы с основанием q1 в систему с основанием q2.

?

?

Правила, используемые для перевода целых и дробных чисел различны.

Для перевода целого числа из десятичной системы счисления в систему с основанием q, число нужно последовательно делить на основание q до тех пор, пока не будет получена целая часть частного, равная 0, то есть будет получен остаток от деления, меньший q. Число в системе счисления с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности остатков от деления в порядке, обратном получению остатков, то есть старшей цифрой числа будет последний остаток.

При переводе числа в шестнадцатеричную систему счисления необходимо помнить, что шестнадцатеричные числа представляются символами 1, 2, ..., 8, 9, A(10), B(11), C(12), D(13), E(14), F(15).

Для перевода правильной дроби из десятичной системы счисления в систему с основанием q число нужно последовательно умножать на основание q (причем умножению подвергаются только дробные части) до тех пор, пока не будет обеспечена заданная точность представления числа. Дробь в системе счисления с основанием q записывается в виде упорядоченной последовательности целых частей произведений в порядке их получения. Если требуемая точность перевода q, то число указанных последовательных произведений (то есть цифр в представлении дроби) равно k+1. По (k+1)-ой цифре производится округление k-той цифры.

 

Пример : перевести число 95₁₀ в следующие системы счисления:

а) двоичную:

1
направление записи числа
Ответ:9510 = 10111112

 

 

б) восьмеричную :

Ответ:9510 = 1378

в) шестнадцатеричную:

F
Ответ:9510 = 5F16

 

Если на некотором шаге получения произведений дробная часть числа становится равной 0, то процесс преобразования на этом заканчивается, так как все остальные цифры в представление дроби будут равны 0.

Пример: перевести число 0.95 в следующие системы счисления, с точностью представления 2, 8, 16, соответственно:

а) двоичную СС: б) восьмеричную СС: в) шестнадцатеричную СС:

						F

 

Ответ: 0.95₁₀ = 0.111101₂ = 0.75₈ = 0.F3₁₆

При переводе неправильной дроби из десятичной системы счисления в систему с основанием q отдельно переводится целая и дробная части числа.

Пример: перевести число 123.58 в восьмеричную систему счисления.

123.58₁₀ =123₁₀ + 0.58₁₀ = 173₈ + 0.45₈ = 173.45₈

Для перевода числа из системы счисления с основанием q в десятичную пользуются формулой разложения в ряд (1). Выражение (1) справедливо как для целых, так и для дробных чисел.

 

Пример: представить числа: а)111011.011, б)154.31, в)А2В.3С в десятичной системе счисления.

 

111011.011₂ = 1*2⁵ +1*2⁴ +1*2³ +0*2² +1*2¹ +1*2⁰ +0*2^-1 +1*2^-2 +1*2^-3 =

=32 +16+8+2+1+1/4+1/8=59.375₁₀

154.31₈ = 1*8² +5*8¹ +4*8⁰ +3*8^-1 +1*8^-2 = 64+ 40+ 4+ 3/8+ 1/64 =

=108.390625₁₀

А2В.3С₁₆ = А*16² +2*16¹ +В*16⁰ +3*16^-1 +С*16^-2 = 3840+32+11+3/16+12/256 = 3883.234375₁₀

При переводе чисел из системы счисления с основанием q1 в систему с основанием q2 выполняется промежуточное преобразование в десятичную систему.

 

Связь двоичной, восьмеричной и шестнадцатеричной систем счисления.

Каждая восьмеричная цифра представляется триадой двоичных цифр, а каждая шестнадцатеричная цифра - тетрадой двоичных цифр. Перевод целых и дробных чисел из двоичной в восьмеричную и из двоичной в…

Таблица 1

Восьмеричное число	Триада

 

Таблица 2

Шестнадцатеричное число	Тетрада
A
B
C
D
E
F

 

Для перевода двоичного числа в восьмеричную (шестнадцатеричную) систему счисления число разбивается на триады (тетрады) двоичных цифр. Причем для целого числа триады (тетрады) находятся, начиная с младшего разряда, двигаясь влево к старшему разряду. Если старшая триада (тетрада) не получается из-за нехватки цифр, то слева к числу приписывается нужное количество нулей. Для дробного числа триады (тетрады) находятся, начиная со старшего разряда, двигаясь вправо к младшему. Если количество разрядов не кратно трём (четырем), то справа приписывается нужное количество нулей. Далее каждой триаде (тетраде) ставится в соответствие восьмеричная (шестнадцатеричная) цифра.

При обратном переводе вместо каждой восьмеричной (шестнадцатеричной) цифры записывается эквивалентная ей триада (тетрада) двоичных. Положение запятой между целой и дробной частями числа сохраняется. Нули слева от целой части и справа от дробной части опускаются.

 

Примеры:

а)	1101110011.01101012	=				011.			=	1563.3248
б)	2076.3058 =				6 ,				=	10000111110,0110001012
					110,

 

в)	11011011110100.10110011012=				0100,				=
				F		B

= 36F4.B34₁₆

г) A2E.С1D₁₆ = 101000101110.110000011101₂

 

 

Формы представления чисел в ЦВМ

В памяти ЦВМ числовая информация может быть представлена в различных формах. В случае с фиксированной запятой для всех чисел, над которыми выполняются… Обычно в ЦВМ используются два способа расположения запятой:

Кодирование отрицательных чисел.

При представлении числа в прямом коде код числа в разрядной сетке из n разрядов совпадает с самим числом. В двоичной системе счисления знаки кодируются следующим образом: «+» цифрой 0,…  

Сложение чисел в форме с фиксированной запятой.

Сложение чисел в прямом коде очень просто выполняется для чисел с одинаковыми знаками. Числа складываются, а их сумме присваивается код знака… Если числа имеют разные знаки, то используется операция алгебраического… Гораздо проще в этом случае использовать дополнительный код для отрицательных чисел. Тогда операция алгебраического…

Формирование признака переполнения разрядной сетки

Признак обнаружения переполнения разрядной сетки формируется следующим образом: если при сложении двух чисел в дополнительном (обратном) коде… Если и в знаковый и из знакового разряда суммы перенос существует или его нет,… При положительном переполнение результат операции положительный, а при отрицательном - отрицательный.

Умножение целых двоичных чисел

  Таблица 4. Разряды множителя, с которого начинается умножение …  

Цель работы.

Изучить формы представления чисел в различных системах счисления и правила выполнения арифметических операций над ними.

 

Порядок выполнения работы.

7.2.1. Сформировать три исходных числа А1, А2, А3 в десятичной системе счисления, согласно табл. 5.

Таблица 5

Варианты исходных чисел

Номер варианта	А1	А2	А3
	цифры	цифры	цифры
1-9	NB	NV	NGR	NV	NGR	10-NV	NB+NGR
10-18	NV*	NV+NB	NGR	NV-9	NGR+3*	NV-9	NGR+7*
19-27	NV+NB*	NB	NGR	NV-18*	NGR+6*	NV-18	NGR

 

Число А1 - трехразрядное, числа А2 и А3 двухразрядные.

В табл.5 приведены следующие обозначения:

· NB - произвольное число, например, месяц рождения;

· NV - номер варианта;

· NGR - последняя цифра номера группы для групп, имеющих четырех и пятизначные номера.

Для групп с трехзначными номерами NGR задается преподавателем.

Примечание: при формировании чисел А1,А2,А3, если в формулах получается двухразрядное число, то нужно просуммировать цифры обоих разрядов для получения одноразрядного числа.

7.2.2. Осуществить перевод числа W=А2,А3 ( А2 - целая часть числа W, А3 - дробная), заданного в десятичной СС в системы счисления с основаниями 2,8,16. При переводе дробной части числа задается следующая точность представления:

· для двоичной СС - 6 разрядов после запятой

· для восьмеричной и шестнадцатеричной 2 разряда после запятой.

7.2.3. Выполнить перевод числа А1 в системы счисления с основаниями 8 и 16.

Полученное после перевода число представить в следующем формате (формат с фиксированной запятой):

 

номера разрядов

n-1	n-2 2 1 0
знаковый разряд	разряды цифровой части

 

7.2.4. Перевести число +(-)А1 (положительное и отрицательное) в дополнительный код.

7.2.5. Выполнить над числами А2 и А3 следующие операции:

(А2+А3), (А2-А3), (-А2+А3), (-А2-А3).

Операции выполнять в дополнительном коде в двоичной системе счисления

Числа А2 и А3 представляются в формате с фиксированной запятой. Результат записать в прямом и дополнительном кодах. Результаты перевести в восьмеричную и шестнадцатеричную системы.

Выявить возможные случаи переполнения.

7.2.6. Выполнить над числами А2 и А3 следующие операции:

(А1+А2), (А1-А2), (-А1+А2), (-А1-А2).

Операции выполнять в дополнительном коде в шестнадцатеричной системе счисления.

Числа А1 и А2 - целые беззнаковые числа, представленные в следующем формате:

номера разрядов

n-1 n-2 … 1 0

разряды цифровой части

 

Результаты представить в шестнадцатеричной и двоичной системах.

7.2.7. Выполнить операцию умножения чисел А2 и А3 в двоичной СС (А2 и А3 - целые числа без знака).

7.2.8. Представить число W, определенное в п.3.2 задания в форме с плавающей запятой в двоичной восьмеричной и шестнадцатеричной системах счисления. Какое количество разрядов в указанных системах счисления необходимо отвести под порядок числа?

7.2.9. Результаты выполнения заданий по п.п. 3.1-3.8 привести в отчете по лабораторной работе.

 

7.3. СОДЕРЖАНИЕ ОТЧЁТА

§ Титульный лист.

§ Цель работы.

§ Результаты выполнения индивидуального задания. В отчете должен быть представлен весь порядок выполненных вычислений.

§ Выводы по работе.

 

Литература

 

1. Савельев А.Я. Основы информатики: Учеб. Для вузов.- М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э.Баумана, 2001.- 328 с.

2. Лысиков Б.Г. Арифметические и логические основы цифровых автоматов. - Мн.: Высшая школа, 1980. -336 с.

3. Савельев А.Я. Прикладная теория цифровых автоматов: Учеб.для вузов по спец.ЭВМ.- М: Высш. Шк., 1987.-272 с.

4. Приложение

КОНТРОЛЬНЫЙ ПРИМЕР

Выполнения лабораторной лаботы

  W = A2, A3 = 46,4110 1. Осуществляется перевод числа W = 46,41 в а) двоичную, б) восьмеричную и в) шестнадцатеричную СС. Причем обеспечить…